Exercices corrigés - Homothésies - 11e

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Exercice 1

Difficulté : 40/100

Construire l’image $F^{\prime }$ de la figure $F$ par une homothétie de centre $O$ et de rapport $+2$.

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Exercice 2

Difficulté : 50/100

Question : Un triangle $DEF$ rectangle en $D$ et d’aire $24{\mathrm{cm}}^2$ est un agrandissement d’un triangle $XYZ$, rectangle en $X$, tel que $XY=4\mathrm{cm}$ et $XZ=3\mathrm{cm}$. Calcule les longueurs $DE$ et $DF$.

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Exercice 3

Difficulté : 40/100

La pyramide de la Place de la Concorde est une pyramide régulière à base carrée de 50 m de côté et de 30 m de hauteur.

1. Fais un schéma.

2. Calcule le volume $\mathcal{V}$ de cette pyramide. Donne la valeur exacte en ${\mathrm{m}}^3$, puis la valeur arrondie à l’unité.

3. Sur une maquette, on construit une réduction de cette pyramide. Le côté de la base carrée mesure 10 cm. Calcule le coefficient de réduction.

4. Déduis-en le volume ${\vartheta }^{\prime }$ de la pyramide sur la maquette. Donne la valeur exacte en ${\mathrm{cm}}^3$, puis la valeur arrondie à l’unité.

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Exercice 4

Difficulté : 50/100

Question :

1. Construis un triangle dont les côtés mesurent $6\text{cm}$, $7\text{cm}$ et $10\text{cm}$. Réalise un agrandissement de ce triangle de manière à ce que le côté de $7\text{cm}$ mesure désormais $14\text{cm}$.

Mesure les angles de chaque triangle. Que constates-tu ?

2. Construis deux triangles $DEF$ et $D^{\prime }{E}^{\prime }{F}^{\prime }$, de tailles différentes, dont les angles mesurent : $$\widehat{EDF}=\widehat{D^{\prime }{E}^{\prime }{F}^{\prime }}={65}^{\circ },\widehat{DFE}=\widehat{D^{\prime }{F}^{\prime }{E}^{\prime }}={55}^{\circ },\widehat{FED}=\widehat{F^{\prime }{E}^{\prime }{D}^{\prime }}={60}^{\circ }$$ Mesure les côtés de ces triangles, puis calcule les rapports suivants : $$\frac{DE}{EF},\frac{DE}{DF},\frac{EF}{DF},\frac{D^{\prime }{E}^{\prime }}{E^{\prime }{F}^{\prime }},\frac{D^{\prime }{E}^{\prime }}{D^{\prime }{F}^{\prime }},\frac{E^{\prime }{F}^{\prime }}{D^{\prime }{F}^{\prime }}$$ Que constates-tu ?

3. Fais de même pour les rapports suivants : $$\frac{DE}{D^{\prime }{E}^{\prime }},\frac{EF}{E^{\prime }{F}^{\prime }},\frac{DF}{D^{\prime }{F}^{\prime }}$$

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Exercice 5

Difficulté : 50/100

Question :

1. Construis l’image de la figure représentée sur la figure par la transformation $\mathfrak{H}(C;\frac{2}{3})$.

2. Construis ensuite l’image de la figure obtenue en a) par la transformation $S(d)$.

3. Comment peut-on revenir à la figure initiale à partir de la figure obtenue en b) ?

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Exercice 6

Difficulté : 40/100

Question : Les côtés du triangle $XYZ$ mesurent respectivement $7$ cm, $10$ cm et $14$ cm.
Sophie décide de tracer à la craie un agrandissement de ce triangle.
Elle choisit alors des longueurs de côtés de $21$ cm, $30$ cm et $42$ cm.
Son agrandissement est-il correct ?

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Exercice 7

Difficulté : 50/100

Soit $F^{\prime }$ l’image de $F$ par une homothétie.

1. Effectuez les mesures nécessaires afin de calculer le rapport de l’homothétie.
2. Quel est le rapport de l’homothétie qui transforme $F^{\prime }$ en $F$ ?

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Exercice 8

Difficulté : 50/100

Voici un rectangle et son image par une homothétie de rapport $\frac{4}{3}$. Calculez les longueurs $x$ et $y$.
Unité : cm

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Exercice 9

Difficulté : 40/100

$F^{\prime }$ est l’image de $F$ par une homothétie.

1. Effectuez les mesures nécessaires et calculez le rapport d’homothétie.
2. Calculez l’aire du carré $F^{\prime }$ et l’aire du carré $F$.
3. Calculez le rapport de ces aires.

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Exercice 10

Difficulté : 50/100

L’homothétie de centre $M$ et de rapport $\frac{3}{2}$ transforme un segment $[CD]$ en un segment $[C^{\prime }{D}^{\prime }]$.

1. Construis cette figure.

2. Que peut-on dire des droites $(CD)$ et $(C^{\prime }{D}^{\prime })$ ? Justifie.

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Exercice 11

Difficulté : 40/100

Construire l’image de la droite $d$ par une homothétie de centre $O$ et de rapport $\frac{1}{2}$.

Construire l’image de la droite $d$ par une homothétie de centre $O$ et de rapport $-\frac{1}{2}$.

Construire l’image de la droite $d$ par une homothétie de centre $O$ et de rapport $5$.

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Exercice 12

Difficulté : 20/100

Question : Un triangle $D^{\prime }{E}^{\prime }{F}^{\prime }$ est l’image du triangle $DEF$ par une homothétie de rapport $\frac{3}{2}$. On sait que $DE=8\mathrm{cm}$ et que l’angle $\widehat{DEF}$ mesure ${45}^{\circ }$. Déterminez les mesures de $D^{\prime }{E}^{\prime }$ et du périmètre de $D^{\prime }{E}^{\prime }{F}^{\prime }$. Justifiez votre réponse.

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Exercice 13

Difficulté : 45/100

Calculer le rapport d’homothétie et la longueur du segment $x$.
Unité : le cm

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Exercice 14

Difficulté : 35/100

Question : Une figure a une aire de $94{\mathrm{cm}}^2$. Après une réduction, on obtient une nouvelle figure dont l’aire est de $67,35{\mathrm{cm}}^2$. Détermine le rapport de réduction.

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Exercice 15

Difficulté : 50/100

Question : Trace le rectangle $EFGH$ et place un point $P$ à l’extérieur. Construis $E^{\prime }{F}^{\prime }{G}^{\prime }{H}^{\prime }$, l’image du quadrilatère $EFGH$ par homothétie de centre $P$ et de rapport $1,5$.

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Exercice 16

Difficulté : 30/100

Question :

1. Complète le tableau suivant.

Aire de la figure	Rapport d’homothétie	Aire de l’image
$4{\mathrm{cm}}^2$	2
$18{\mathrm{m}}^2$	0,5
	3	$243{\mathrm{mm}}^2$
	0,4	$1,44{\mathrm{cm}}^2$
$3,0{\mathrm{cm}}^2$		$12{\mathrm{cm}}^2$
$3{\mathrm{dm}}^2$		$3,24{\mathrm{dm}}^2$
$12{\mathrm{dm}}^2$		$12{\mathrm{m}}^2$

2. Complète l’équation suivante.

$$\frac{\text{Aire IJKL}}{\text{Aire WXYZ}}=({)}^2$$

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Exercice 17

Difficulté : 40/100

Question : L’aire d’un hexagone est de $30{\text{cm}}^2$. Déterminez l’aire de son image par une homothétie de rapport :

1. $1,5$ ;

2. $-3$ ;

3. ${\displaystyle \frac{2}{5}}$.

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Exercice 18

Difficulté : 40/100

Voici un triangle et son image par une homothétie de rapport 1,85. Calculer les longueurs $x$, $y$ et $z$.

Unité : le dm

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Exercice 19

Difficulté : 50/100

Voici plusieurs figures et leurs images par une homothétie. Pour chaque figure, indiquez le rapport d’homothétie $k$. Pour les figures (a) et (d), déterminez également la longueur $x$.

1. $k=$
   $x=$

2. $$k=$$

3. 

4. 

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Exercice 20

Difficulté : 35/100

Voici un losange et son image par une homothétie de rapport $-0,9$. Calculez la longueur $x$. Unité : m.

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Exercice 21

Difficulté : 35/100

Question : La figure $M^{\prime }{N}^{\prime }{O}^{\prime }{P}^{\prime }$ est l’image de la figure $MNOP$ par homothétie de ce centre et de rapport 2. Quelles sont les dimensions de $M^{\prime }{N}^{\prime }{O}^{\prime }{P}^{\prime }$ ?

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Exercice 22

Difficulté : 40/100

Deux triangles ont les longueurs suivantes.

Triangle ABC	$\mathrm{AB}=6,0$	$\mathrm{AC}=9,0$	$\mathrm{BC}=12,0$
Triangle DEF	$\mathrm{DE}=3,0$	$\mathrm{DF}=4,5$	$\mathrm{EF}=6,0$

1. Est-ce un tableau de proportionnalité ? Justifie.

2. Le triangle ABC est-il un agrandissement ou une réduction du triangle DEF ? Précise le rapport.

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Exercice 23

Difficulté : 20/100

Question : Le carré $IJKL$ est l’image du carré $WXYZ$ par une homothétie de rapport 4. On suppose que le côté du carré $WXYZ$ mesure 2 cm.

1. Calcule la longueur d’un côté de $IJKL$ et en déduis son aire.

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Exercice 24

Difficulté : 50/100

Dans chacune des figures suivantes, le point $P^{\prime }$ est l’image du point $P$ par une homothétie de centre $H$. Pour chaque figure, indiquez :

1. Si le rapport d’homothétie est positif ou négatif ;
2. Si, en valeur absolue, le rapport est inférieur, égal ou supérieur à 1.

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Exercice 25

Difficulté : 40/100

Construire l’image du segment [AB] par une homothétie de centre $O$ et de rapport $-\frac{1}{3}$.

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