Exercices corrigés de Homothésies - 11e
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Exercice 1
Difficulté : 40/100
a) Le triangle $ABC$ est transformé en $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ par une homothétie de centre $M$ et de rapport $\frac{3}{4}$. Construis l'image $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$.
b) Le rectangle $EFGH$ est transformé en $E^{\prime}F^{\prime}G^{\prime}H^{\prime}$ par une homothétie de centre $N$ et de rapport $-2$. Construis l'image $E^{\prime}F^{\prime}G^{\prime}H^{\prime}$.
Exercice 2
Difficulté : 70/100
Indiquez pour chaque figure si elle peut être obtenue à partir du polygone initial en rouge par :
-
H+ : une homothétie de rapport positif,
-
H- : une homothétie de rapport négatif,
-
I : ce n'est pas possible avec une homothétie unique.
Examinez les polygones a) à f) et déterminez la réponse appropriée.
Exercice 3
Difficulté : 60/100
a) Dessine un segment de droite $PQ$ avec $PQ = 6 \, \text{cm}$.
b) Trace les homothéties $\mathcal{H}(O ; 2)$ et $ \mathcal{H}(O ; -2)$ sur le segment $PQ$ avec O comme centre.
Exercice 4
Difficulté : 65/100
Les quadrilatères $q1$, $q2$, $q3$, $q4$ et $q5$ sont semblables.
a) Quelles transformations sont nécessaires pour passer du quadrilatère $q2$ aux quatre autres quadrilatères?
b) Quelles transformations sont nécessaires pour passer du quadrilatère $q5$ aux quatre autres quadrilatères?
c) Une transformation permettant de passer d’un quadrilatère à un autre parmi ces quadrilatères est appelée une «homothétie».
Quels éléments sont nécessaires pour définir une homothétie?
Quelles sont les propriétés fondamentales de cette transformation?
d) Complétez le tableau suivant.
|$ \longrightarrow $| $q1$ | $q2$ | $q3$ | $q4$ | $q5$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $q2$ | $\mathcal{H}(O ; 3)$ | | | | |
| $q5$ | | | | $\mathcal{H}(O ; \frac{1}{4})$ | |
Exercice 5
Difficulté : 40/100
a) Le triangle $XYZ$ est transformé en $X^{\prime}Y^{\prime}Z^{\prime}$ par une homothétie de centre $O$ et de rapport $-\frac{1}{2}$. Construis l'image $X^{\prime}Y^{\prime}Z^{\prime}$.
b) Le quadrilatère $PQRS$ est transformé en $P^{\prime}Q^{\prime}R^{\prime}S^{\prime}$ par une homothétie de centre $O$ et de rapport $3$. Construis l'image $P^{\prime}Q^{\prime}R^{\prime}S^{\prime}$.
Exercice 6
Difficulté : 50/100
Voici trois cercles et leurs homothétiques correspondants. Détermine le rapport d'homothétie pour chaque transition entre les cercles. Explique ton raisonnement.
Exercice 7
Difficulté : 40/100
a) Le triangle $ABC$ est transformé en $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ par une homothétie de centre $O$ et de rapport $\frac{1}{3}$. Construis l'image $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$.
b) Le pentagone $JKLMN$ est transformé en $J^{\prime}K^{\prime}L^{\prime}M^{\prime}N^{\prime}$ par une homothétie de centre $P$ et de rapport $2$. Construis l'image $J^{\prime}K^{\prime}L^{\prime}M^{\prime}N^{\prime}$.
Exercice 8
Difficulté : 40/100
a) Le triangle $ABC$ est transformé en $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ par une homothétie de centre $O$ et de rapport $-\frac{2}{3}$. Construis l'image $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$.
b) Le quadrilatère $MNPQ$ est transformé en $M^{\prime}N^{\prime}P^{\prime}Q^{\prime}$ par une homothétie de centre $P$ et de rapport $4$. Construis l'image $M^{\prime}N^{\prime}P^{\prime}Q^{\prime}$.
Exercice 9
Difficulté : 40/100
a) La figure $ABC$, un triangle, est transformée en $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ par une homothétie de centre $D$ et de rapport $-2$. Construis l'image $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$.
b) Le pentagone $EFGHI$ est transformé en $E^{\prime}F^{\prime}G^{\prime}H^{\prime}I^{\prime}$ par une homothétie de centre $D$ et de rapport $\frac{1}{4}$. Construis l'image $E^{\prime}F^{\prime}G^{\prime}H^{\prime}I^{\prime}$.
Exercice 10
Difficulté : 50/100
Voici un triangle équilatéral et son image par une homothétie. Trouve le rapport d'homothétie et justifie ta réponse.
Exercice 11
Difficulté : 40/100
a) Le pentagone $ABCDE$ est transformé en $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}E^{\prime}$ par une homothétie de centre $O$ et de rapport $\frac{1}{3}$. Construisez l'image $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}E^{\prime}$.
b) Le triangle $FGH$ est transformé en $F^{\prime}G^{\prime}H^{\prime}$ par une homothétie de centre $O$ et de rapport $-2$. Construisez l'image $F^{\prime}G^{\prime}H^{\prime}$.
Exercice 12
Difficulté : 50/100
Voici une figure composée de trois rectangles dans un plan, chacun étant homothétique à l'autre. Détermine pour chaque passage le rapport d'homothétie utilisé et explique comment tu l'as calculé en fournissant les détails nécessaires.
Exercice 13
Difficulté : 60/100
a) Tracez un segment de droite $AB$ tel que $AB = 8 \, \text{cm}$.
b) Réalisez les homothéties $\mathcal{H}(C; 3)$ et $\mathcal{H}(C; -3)$ sur le segment $AB$ avec $C$ comme centre.
Exercice 14
Difficulté : 64/100
Exercice 1: Symétries et transformations
-
Identifie le motif le plus simple associé au pavage ci-dessous, sans inclure aucune superposition en employant exclusivement des symétries.
-
Pour les motifs proposés ci-après, indique les transformations nécessaires pour créer ces pavages :
-
Motif triangulaire alterné
-
Motif quadrille chevauché
-
Motif hexagonal alterné
-
Motif en cercles concentriques
Exercice 2: Homothétie
Trace l'image d'une figure appliquée par l'homothétie $\mathscr{H}\left(O; \frac{1}{2}\right)$.
Exercice 3: Calculs géométriques
-
Calcule les périmètres et aires des formes suivantes. Avec pour données :
-
Le périmètre et l'aire pour un rectangle.
-
Le périmètre et l'aire pour un trapèze.
-
Le périmètre et l'aire pour un triangle.
-
Le périmètre et l'aire pour un cercle.
-
La longueur et l'aire associées à un secteur circulaire.
-
Trouver l'aire d'un cercle de même diamètre 20 cm.
-
Déterminer le périmètre pour une figure comportant des motifs hachurés.
-
Sur les schémas proposés, calculer les périmètres ($p_X$, $p_Y$, $p_Z$, $p_W$) ainsi que les aires ($A_X$, $A_Y$, $A_Z$, $A_W$).
Exercice 15
Difficulté : 65/100
Une figure quadrilatérale $WXYZ$ a été transformée en une autre figure $W^{\prime}X^{\prime}Y^{\prime}Z^{\prime}$ par une homothétie. Reproduis soigneusement les deux figures et identifie le centre et le rapport de l'homothétie utilisée.
Exercice 16
Difficulté : 65/100
Les triangles $t_1$, $t_2$, $t_3$, $t_4$, et $t_5$ sont similaires.
a) Quelles transformations sont nécessaires pour passer du triangle $t_3$ aux quatre autres triangles?
b) Quelles transformations sont nécessaires pour passer du triangle $t_1$ aux quatre autres triangles?
c) Une transformation qui permet de passer d’un triangle à un autre parmi ces triangles est appelée une «homothétie».
Quels éléments indispensables sont nécessaires pour définir une homothétie? Citez également les propriétés principales de cette transformation.
d) Complétez le tableau suivant.
|$ \longrightarrow $| $t_1$ | $t_2$ | $t_3$ | $t_4$ | $t_5$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $t_3$ | $\mathcal{H}(C ; 2)$ | | | | |
| $t_1$ | | | | $\mathcal{H}(C ; 1/3)$ | |
Exercice 17
Difficulté : 64/100
a) Agrandis la figure $g$ de façon à ce que la base du rectangle mesure $6 \, \mathrm{cm}$.
b) Complète la symétrie de la figure donnée sans recourir à des instruments de mesure.
Exercice 18
Difficulté : 45/100
a) L'octogone $PQRSTUVW$ est transformé en $P^{\prime}Q^{\prime}R^{\prime}S^{\prime}T^{\prime}U^{\prime}V^{\prime}W^{\prime}$ par une homothétie de centre $O$ et de rapport $-\frac{4}{5}$. Dessine $P^{\prime}Q^{\prime}R^{\prime}S^{\prime}T^{\prime}U^{\prime}V^{\prime}W^{\prime}$.
b) Le losange $XYZT$ est transformé en $X^{\prime}Y^{\prime}Z^{\prime}T^{\prime}$ par une homothétie de centre $O$ et de rapport $2$. Dessine $X^{\prime}Y^{\prime}Z^{\prime}T^{\prime}$.
Exercice 19
Difficulté : 45/100
a) $P^{\prime} Q^{\prime} R^{\prime}$ est l'image du triangle $PQR$ par une homothétie $\mathcal{H}$. Déterminez les positions de $F^{\prime}$ et $G^{\prime}$ en tenant compte de cette homothétie.
b) Les points $P^{\prime}, Q^{\prime}$ et $R^{\prime}$ représentent les milieux des côtés du triangle $PQR$.
Quelle est l'homothétie qui permet de transformer le triangle $PQR$ en $P^{\prime} Q^{\prime} R^{\prime}$ ?
Exercice 20
Difficulté : 60/100
Les figures ci-dessous représentent différents trapèzes obtenus par homothéties à partir d’un trapèze initial avec un centre donné $O$.
Pour chaque cas représenté, déterminez le signe et l’intervalle du rapport d’homothétie $k$ selon les critères :
-
$k > 1$,
-
$0 < k < 1$,
-
$-1 < k < 0$, et
-
$k < -1$.
Justifiez votre réponse en comparant les distances et positions par rapport à $O$.
Exercice 21
Difficulté : 40/100
Les cercles $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$ et $C_5$ sont homothétiques.
Exercice 22
Difficulté : 60/100
Le point $A$ a pour image $A^{\prime}$ par une homothétie de centre $C$ et de rapport $r$. Quelle sera l'image du point $B$ par cette même homothétie ?
Exercice 23
Difficulté : 60/100
Le point $A$ a pour image $A^{\prime}$ par une homothétie de centre $B$.
Déterminez l'image du point $C$ par cette même homothétie.
Exercice 24
Difficulté : 50/100
Un triangle $XYZ$ a pour côtés les longueurs suivantes : $4~\text{cm}$, $7~\text{cm}$, et $9~\text{cm}$. Alice dessine une réduction de ce triangle avec des côtés mesurant $2~\text{cm}$, $3,5~\text{cm}$, et $4,5~\text{cm}$. Cette réduction est-elle correcte ?
Exercice 25
Difficulté : 40/100
Exercice
a) Détermine le rapport de l'homothétie de centre $O$ telle que l'image de $P$ soit $Q$.
b) Quel est l'image du point $R$ par cette homothétie ?
c) Propose trois proportions de longueurs à partir des figures du dessin.
Exercice 26
Difficulté : 40/100
a) Le triangle $ABC$ est transformé en $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ par une homothétie de centre $O$ et de rapport $\frac{2}{3}$. Construis l'image $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$.
b) Le quadrilatère $MNPQ$ est transformé en $M^{\prime}N^{\prime}P^{\prime}Q^{\prime}$ par une homothétie de centre $O$ et de rapport $-2$. Construis l'image $M^{\prime}N^{\prime}P^{\prime}Q^{\prime}$.
Exercice 27
Difficulté : 50/100
Voici trois rectangles et leurs homothétiques correspondants. Déterminez le rapport d'homothétie pour chaque transition entre les rectangles. Expliquez votre démarche.
Exercice 28
Difficulté : 60/100
a) Dessine un segment de droite $AB$ avec $AB = 8 \, \text{cm}$.
b) Trace les homothéties $\mathcal{H}(C ; 3)$ et $ \mathcal{H}(C ; -3)$ sur le segment $AB$ avec C comme centre.
Exercice 29
Difficulté : 65/100
Les triangles $t1$, $t2$, $t3$, $t4$ et $t5$ sont homothétiques.
a) Quelles transformations sont nécessaires pour passer du triangle $t2$ aux quatre autres triangles?
b) Quelles transformations sont nécessaires pour passer du triangle $t5$ aux quatre autres triangles?
c) Une transformation permettant de passer d'un triangle à un autre parmi ces triangles est appelée une «homothétie».
Quels éléments sont nécessaires pour définir une homothétie? Quelles sont les propriétés fondamentales de cette transformation?
d) Complétez le tableau suivant.
|$ \longrightarrow $| $t1$ | $t2$ | $t3$ | $t4$ | $t5$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $t2$ | $\mathcal{H}(C ; 2)$ | | | | |
| $t5$ | | | | $\mathcal{H}(C ; \frac{1}{3})$ | |
Exercice 30
Difficulté : 48/100
Effectue les homothéties suivantes :
-
$\mathcal{H}(O ; 3): P Q R S \longrightarrow P_{1} Q_{1} R_{1} S_{1}$
-
$\mathcal{H}\left(O ; \frac{1}{3}\right): P Q R S \longrightarrow P_{2} Q_{2} R_{2} S_{2}$
-
$\mathcal{H}(O ; -2): P Q R S \longrightarrow P_{3} Q_{3} R_{3} S_{3}$
-
$\mathcal{H}(O ; -0.5): P Q R S \longrightarrow P_{4} Q_{4} R_{4} S_{4}$
Exercice 31
Difficulté : 60/100
a) Dessine un cercle $C$ de centre $O$ et de rayon $5 \text{ cm}$.
b) Trace les transformations $
abla_T(2)$ et $
abla_T(-2)$ appliquées au cercle $C$ avec $T$ comme centre.
Exercice 32
Difficulté : 65/100
Le quadrilatère $Q'$ est-il une homothétie du quadrilatère $Q$ ?
Exercice 33
Difficulté : 60/100
a) Dessine un carré $ABCD$ tel que la longueur d'un côté soit égale à $4 \, \text{cm}$.
b) Trace les agrandissements $
abla(O ; 3)$ et $
abla(O ; \frac{1}{3})$ du carré $ABCD$ avec $O$ comme centre.
Exercice 34
Difficulté : 50/100
Dans un espace vectoriel représenté par un quadrillage, considère deux triangles, l'un est une image homothétique de l'autre. Identifier le centre et le rapport d'homothétie pour ce cas, en justifiant votre raisonnement.