Exercice 33

Un cylindre et une sphère ont le même rayon de 6 cm. Le cylindre a une hauteur de 12 cm. Comparer leurs volumes.

Réponse

\(V_{\text{cylindre}} = 432\pi\ \text{cm}^3\), \(V_{\text{sphère}} = 288\pi\ \text{cm}^3\). Le cylindre a un volume plus grand.

Corrigé détaillé

Présentation du problème

Un cylindre et une sphère ont le même rayon de 6 cm. Le cylindre a une hauteur de 12 cm. Il s’agit de comparer leurs volumes respectifs.

1. Volume du cylindre

Pour un cylindre de rayon \(r\) et de hauteur \(h\), la formule du volume est :

\[ V_{\text{cylindre}} = \pi \times r^2 \times h \]

1. On identifie les données :
   • \(r = 6\) cm
   • \(h = 12\) cm
2. On remplace dans la formule : \[ V_{\text{cylindre}} = \pi \times 6^2 \times 12 \]
3. Calcul intermédiaire :
   • \(6^2 = 36\)
   • \(36 \times 12 = 432\)
4. On conclut : \[ V_{\text{cylindre}} = 432\pi\ \text{cm}^3 \]

2. Volume de la sphère

Pour une sphère de rayon \(r\), la formule du volume est :

\[ V_{\text{sphère}} = \tfrac{4}{3} \pi \times r^3 \]

1. On identifie la donnée :
   • \(r = 6\) cm
2. On remplace dans la formule : \[ V_{\text{sphère}} = \tfrac{4}{3} \pi \times 6^3 \]
3. Calcul intermédiaire :
   • \(6^3 = 216\)
   • \(\tfrac{4}{3} \times 216 = 288\)
4. On conclut : \[ V_{\text{sphère}} = 288\pi\ \text{cm}^3 \]

3. Comparaison des volumes

• Volume du cylindre : \(432\pi\ \text{cm}^3\)
• Volume de la sphère : \(288\pi\ \text{cm}^3\)

On observe que :

\[ 432\pi > 288\pi \]

Le cylindre a donc un volume plus grand que la sphère. Plus précisément, le cylindre possède un volume égale à une fois et demie celui de la sphère.