Exercice 24

Un cône a un rayon de base de 6 cm et une hauteur de 8 cm. Calculer son volume puis comparer avec le volume d’un cylindre de mêmes dimensions.

Réponse

\(V_{\text{cône}} = 96\pi\,\text{cm}^3,\quad V_{\text{cylindre}} = 288\pi\,\text{cm}^3,\quad V_{\text{cône}} = \tfrac{1}{3}\,V_{\text{cylindre}}.\)

Corrigé détaillé

Correction détaillée

1. Comprendre l’énoncé

L’exercice porte sur un cône de base circulaire de rayon r = 6 cm et de hauteur h = 8 cm. Il s’agit de calculer son volume, puis de le comparer au volume d’un cylindre de même rayon et de même hauteur.

2. Formule du volume d’un cône

On rappelle la formule du volume d’un cône : \[ V_{\text{cône}} = \frac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h \] Cette formule est un théorème classique de géométrie dans l’espace pour un cône droit.

3. Calcul pas à pas du volume du cône

1. Calcul de l’aire de la base :
   • Le rayon vaut r = 6 cm, donc \(r^2 = 6^2 = 36\).
   • L’aire de la base est \(\pi\,r^2 = 36\pi\).
     
2. Multiplication par la hauteur :
   • On multiplie cette aire par h = 8 : \(36\pi \times 8 = 288\pi\).
     
3. Division par 3 selon la formule :
   • \(V_{\text{cône}} = \tfrac{1}{3} \times 288\pi = 96\pi\).
     
4. Unité :
   • Le volume s’exprime en centimètres cubes, soit \(96\pi\,\text{cm}^3\).

4. Volume du cylindre de mêmes dimensions

Pour le cylindre de rayon r = 6 cm et de hauteur h = 8 cm, on utilise la formule : \[ V_{\text{cylindre}} = \pi\,r^2\,h \] En remplaçant : \[ V_{\text{cylindre}} = \pi \times 36 \times 8 = 288\pi\,\text{cm}^3. \]

5. Comparaison des deux volumes

On constate que : \[ V_{\text{cône}} = 96\pi\quad\text{et}\quad V_{\text{cylindre}} = 288\pi. \] Or \(96\pi = \tfrac{1}{3} \times 288\pi\). Le volume du cône est donc exactement un tiers de celui du cylindre.

6. Conclusion

Le cône remplit un tiers du volume du cylindre de même base et même hauteur. Le résultat s’explique par la structure géométrique du cône par rapport au cylindre.