Un réservoir conique a un rayon de base de 5 m et une hauteur de 12 m. Il est rempli aux trois quarts. Quel volume d’eau contient-il ? Donner la réponse en m³ puis en litres.
Le volume est \(75\pi\,\mathrm{m}^3\approx235{,}62\,\mathrm{m}^3\), soit environ \(235\,620\,\mathrm{L}\).
Nous avons un réservoir en forme de cône dont : - le rayon de la base est \(r=5\,\mathrm{m}\), - la hauteur est \(h=12\,\mathrm{m}\), - il est rempli aux trois quarts de sa capacité.
L’objectif est de calculer le volume d’eau contenu dans le cône, d’abord en mètres cubes puis en litres.
Le volume \(V\) d’un cône de rayon \(r\) et de hauteur \(h\) se calcule avec la formule :
\[ V=\frac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h \]
1.1. On remplace \(r\) et \(h\) par leurs valeurs :
\[ V_{\text{total}}=\frac{1}{3}\times\pi\times(5)^2\times12 \]
1.2. On effectue les calculs pas à pas : - \((5)^2=25\) - \(25\times12=300\) - donc \(V_{\text{total}}=\frac{1}{3}\times300\,\pi=100\,\pi\,\mathrm{m}^3\).
Comme le réservoir est rempli aux trois quarts, le volume d’eau est :
\[ V_{\text{eau}}=\frac{3}{4}\times V_{\text{total}} =\frac{3}{4}\times100\,\pi =75\,\pi\,\mathrm{m}^3. \]
On peut donner aussi une valeur approchée :
\[ 75\,\pi\approx75\times3{,}1416\approx235{,}62\,\mathrm{m}^3. \]
On sait que :
\[ 1\,\mathrm{m}^3=1000\,\mathrm{L}. \]
Donc
\[ 75\,\pi\,\mathrm{m}^3=75\,\pi\times1000\,\mathrm{L}=75000\,\pi\,\mathrm{L} \approx235\,620\,\mathrm{L}. \]
Ainsi, le réservoir contient