Exercice 30

Un cube d’arête \(a\) cm a un volume de 512 cm³. Calculer \(a\) puis l’aire totale du cube.

Réponse

\(a=8\text{ cm}\), \(\text{Aire totale}=384\text{ cm}^2\)

Corrigé détaillé

Compréhension de l’énoncé

Dans cet exercice, on dispose d’un cube et on connaît son volume, puis on doit trouver la longueur de son arête et l’aire totale.

1. Volume du cube

Le volume d’un cube correspond au produit de ses trois arêtes. Si l’on note \(a\) la longueur de l’arête, on a :

\(a \times a \times a = 512\).

On recherche un nombre qui, multiplié trois fois par lui-même, donne 512. Pour cela, on teste plusieurs valeurs :

• Essai avec 5 : \(5 \times 5 \times 5 = 125\) (trop petit)
• Essai avec 6 : \(6 \times 6 \times 6 = 216\) (trop petit)
• Essai avec 7 : \(7 \times 7 \times 7 = 343\) (trop petit)
• Essai avec 8 : \(8 \times 8 \times 8 = 512\) (juste)

Ainsi, l’arête du cube mesure \(8\) cm.

2. Aire totale du cube

Une face du cube est un carré de côté \(a\). Son aire se calcule par :

\(a \times a\).

Pour \(a = 8\), l’aire d’une face vaut :

\(8 \times 8 = 64\) cm\(^2\).

Le cube possède 6 faces identiques. Son aire totale est donc :

\(6 \times 64 = 384\) cm\(^2\).

Réponse finale

Arête du cube : \(8\) cm
Aire totale : \(384\) cm\(^2\).