Calculer l’aire totale d’un cylindre de rayon 4 cm et de hauteur 10 cm.
\(112\pi \mathrm{cm}^2\)
Nous avons un cylindre de rayon \(r = 4\) cm et de hauteur \(h = 10\) cm. Nous allons déterminer son aire totale en trois étapes : calcul de l’aire d’une base, calcul de l’aire latérale, puis sommation pour obtenir l’aire totale.
Une base d’un cylindre est un cercle de rayon \(r\). L’aire d’un cercle est donnée par la formule :
\[ A_{\text{base}} = \pi r^2 \]
En remplaçant \(r\) par 4 cm, on obtient :
\[ A_{\text{base}} = \pi \times 4^2 = 16\pi \]
L’unité est en centimètres carrés, donc \(16\pi\ \mathrm{cm}^2\).
La surface latérale d’un cylindre se développe en un rectangle dont la hauteur est \(h\) et dont la largeur correspond au périmètre du cercle de base, soit \(2\pi r\). Ainsi :
\[ \text{Largeur du rectangle} = 2\pi r = 2\pi \times 4 = 8\pi \]
\[ \text{Hauteur du rectangle} = h = 10 \]
L’aire de ce rectangle est donc :
\[ A_{\text{latérale}} = \text{largeur} \times \text{hauteur} = 8\pi \times 10 = 80\pi \]
L’unité est en centimètres carrés, donc \(80\pi\ \mathrm{cm}^2\).
L’aire totale est la somme de l’aire des deux bases et de l’aire latérale :
\[ A_{\text{totale}} = 2 \times A_{\text{base}} + A_{\text{latérale}} \]
En remplaçant par les valeurs calculées :
\[ A_{\text{totale}} = 2 \times 16\pi + 80\pi = 32\pi + 80\pi = 112\pi \]
L’aire totale du cylindre est donc \(112\pi\ \mathrm{cm}^2\).
L’aire totale du cylindre de rayon 4 cm et de hauteur 10 cm est \(112\pi\ \mathrm{cm}^2\).