Exercice 31

Un triangle isocèle rectangle a un périmètre de \(12 + 6\sqrt{2}\) cm. Si les deux côtés égaux mesurent 6 cm chacun, calculer la longueur de l’hypoténuse et vérifier le périmètre.

Réponse

L’hypoténuse mesure \(6\sqrt{2}\) cm et le périmètre vérifié vaut \(12 + 6\sqrt{2}\) cm.

Corrigé détaillé

Rappels

Propriétés du triangle isocèle rectangle

• Dans un triangle isocèle rectangle, deux côtés ont la même longueur.
• Le plus grand côté est appelé hypoténuse.

Théorème de Pythagore (énoncé)

Pour tout triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

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Étapes de la résolution

1. Mesure des côtés égaux
   • Les deux côtés de même longueur mesurent chacun 6 cm.
2. Calcul des carrés de ces côtés
   • On multiplie 6 par lui-même : \(6 \times 6 = 36\).
   • Il y a deux côtés identiques, donc on additionne deux fois 36 : \[ 36 + 36 = 72. \]
3. Détermination de la mesure de l’hypoténuse
   • D’après le théorème de Pythagore, l’hypoténuse est le nombre positif dont le carré vaut 72.
   • On factorise 72 sous la forme d’un carré parfait et d’un autre facteur : \[ 72 = 36 \times 2. \]
   • La longueur recherchée est donc 6 multiplié par le nombre qui, élevé au carré, donne 2. On l’écrit : \[ 6 \times 2^{\tfrac{1}{2}}\text{ cm}. \]
4. Vérification du périmètre
   • Somme des deux petits côtés : \(6 + 6 = 12\) cm.
   • On ajoute ensuite l’hypoténuse : \[ 12 + 6 \times 2^{\tfrac{1}{2}}. \]
   • Cette expression est précisément celle donnée dans l’énoncé : \(12 + 6\sqrt{2}\).

Conclusion

• Longueur de l’hypoténuse : \(6\times2^{\tfrac{1}{2}}\) cm, soit \(6\sqrt{2}\) cm.
• Périmètre vérifié : \(12 + 6\sqrt{2}\) cm, en accord avec l’énoncé.