Exercice 35

Un triangle \(ABC\) a pour côtés \(AB = x\), \(AC = x + 3\) et \(BC = x + 6\) (en cm). Sachant que le périmètre du triangle vaut 36 cm, déterminer \(x\) puis les longueurs des trois côtés. Ce triangle peut-il être rectangle ?

Réponse

\(x = 9,\; AB = 9\,\text{cm},\; AC = 12\,\text{cm},\; BC = 15\,\text{cm}.\) Ce triangle est rectangle.

Corrigé détaillé

Présentation de l’exercice

Nous avons un triangle ABC dont les côtés mesurent : - AB = \(x\) - AC = \(x + 3\) - BC = \(x + 6\)

Le périmètre est donné et vaut 36 cm. Il s’agit de déterminer la valeur de \(x\), puis les longueurs des trois côtés et enfin de vérifier si ce triangle est rectangle.

Étape 1 : Écrire la somme des longueurs

Le périmètre d’un triangle est la somme de ses trois côtés. Ici, on additionne :

\[ AB + AC + BC = x + (x + 3) + (x + 6). \]

Étape 2 : Regrouper les termes de même nature

On regroupe les trois occurrences de \(x\) et les constantes :

• Les termes en \(x\) : on en a trois, soit \(3x\).
• Les nombres seuls : \(3 + 6 = 9\).

On obtient donc une somme équivalente à \(3x + 9\).

Étape 3 : Obtenir la valeur de \(x\)

On sait que cette somme vaut 36 cm. Pour trouver \(x\) : 1. On soustrait 9 à 36 pour isoler l’expression en \(3x\). On obtient 27.
2. On divise ensuite 27 par 3 pour obtenir la valeur de \(x\).

Ainsi on trouve :

\[ x = 9. \]

Étape 4 : Calcul des longueurs des côtés

En remplaçant \(x\) par 9 : - AB = \(x = 9\,\text{cm}\), - AC = \(x + 3 = 12\,\text{cm}\), - BC = \(x + 6 = 15\,\text{cm}\).

On vérifie bien que 9 + 12 + 15 = 36.

Étape 5 : Vérification du caractère rectangle (théorème de Pythagore)

Pour savoir si le triangle est rectangle, on compare le carré du plus grand côté (ici BC = 15 cm) à la somme des carrés des deux autres côtés :

\[ AB^2 + AC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225, \] \[ BC^2 = 15^2 = 225. \]

Les deux résultats sont égaux, donc le triangle satisfait la condition du théorème de Pythagore. Il est rectangle et l’angle droit est au sommet A.