Exercice 26

Dans un triangle isocèle \(ABC\) avec \(AB = AC = 10\) cm et \(BC = 12\) cm, tracer la hauteur issue de \(A\). Quelle est sa longueur ? (Utiliser le théorème de Pythagore)

Réponse

\[8\text{ cm}\]

Corrigé détaillé

1. Énoncé du problème

Dans un triangle isocèle ABC, on a : - \(AB = AC = 10\) cm, - \(BC = 12\) cm.

On cherche la longueur de la hauteur issue du sommet A, c’est-à-dire la longueur du segment \([AD]\) où D est le pied de la perpendiculaire à BC.

2. Construction de la hauteur

1. Place le point D sur \([BC]\) de sorte que \(AD\) soit perpendiculaire à \(BC\).
2. Dans un triangle isocèle, cette hauteur coupe la base en son milieu. Donc D est le point milieu de \([BC]\).
3. Ainsi, \(BD = DC = \tfrac{BC}{2} = \tfrac{12}{2} = 6\) cm.

3. Application du théorème de Pythagore

Dans le triangle rectangle ABD, le théorème de Pythagore donne :
\[ AB^2 = AD^2 + BD^2. \]

4. Calcul de la hauteur AD

1. Calcul de \(AB^2\) et \(BD^2\) :
   • \(AB^2 = 10^2 = 100\),
     
   • \(BD^2 = 6^2 = 36\).
2. Remplacement dans l’égalité :
   \[100 = AD^2 + 36.\]
3. On isole \(AD^2\) :
   \(AD^2 = 100 - 36 = 64.\)
4. On cherche un nombre dont le carré est 64. Comme \(8 \times 8 = 64\), on en déduit :
   \(AD = 8\) cm.

5. Conclusion

La hauteur issue de A mesure 8 cm.