Dans un triangle \(ABC\), les angles satisfont la relation : \(\angle A = 2\angle B = 4\angle C\). Calculer la mesure de chaque angle.
Les mesures des angles sont :
\[ A=\frac{720}{7}^\circ, \quad B=\frac{360}{7}^\circ, \quad C=\frac{180}{7}^\circ. \]
Dans le triangle ABC, on sait que :
\[ \angle A = 2\angle B = 4\angle C. \]
On cherche les mesures de \(\angle A\), \(\angle B\) et \(\angle C\).
Pour traduire la relation entre les angles, on peut introduire une mesure de base. Par exemple, posons :
\[ \angle C = x. \]
D’après l’énoncé :
On sait que la somme des trois angles d’un triangle est toujours égale à \(180^\circ\). Ainsi :
\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ. \]
En remplaçant par nos expressions en fonction de \(x\) :
\[ 4x + 2x + x = 180^\circ. \]
On regroupe les termes similaires :
\[ 7x = 180^\circ. \]
On divise par 7 de chaque côté de l’égalité :
\[ x = \frac{180^\circ}{7}. \]
On vérifie que la somme est bien \(180^\circ\) :
\[ \frac{720}{7} + \frac{360}{7} + \frac{180}{7} = \frac{720 + 360 + 180}{7} = \frac{1260}{7} = 180^\circ. \]
Tout est cohérent. Les mesures des angles sont donc correctes.