Peut-on construire un triangle dont les côtés mesurent 5 cm, 7 cm et 13 cm ? Justifier votre réponse en utilisant l’inégalité triangulaire.
Non, car \(5 + 7 = 12 < 13\).
Le théorème énonce que, dans tout triangle, la somme des longueurs de deux côtés est toujours strictement supérieure à la longueur du troisième côté.
Nous vérifions chacune des trois combinaisons de deux côtés :
Pour les côtés de longueurs \(5\) cm et \(7\) cm : \[ 5 + 7 = 12 \] On compare ensuite \(12\) à la longueur du troisième côté (\(13\) cm) : \[ 12 < 13 \] L’inégalité n’est pas vérifiée.
Pour les côtés de longueurs \(5\) cm et \(13\) cm : \[ 5 + 13 = 18 \] On compare \(18\) à \(7\) cm : \[ 18 > 7 \] L’inégalité est vérifiée.
Pour les côtés de longueurs \(7\) cm et \(13\) cm : \[ 7 + 13 = 20 \] On compare \(20\) à \(5\) cm : \[ 20 > 5 \] L’inégalité est vérifiée.
Pour construire un triangle, toutes les sommes de deux côtés doivent être supérieures au troisième. Or, ici, \(5 + 7 = 12\) n’est pas supérieur à \(13\). Il est donc impossible de former un triangle de côtés 5 cm, 7 cm et 13 cm.