Exercice 28

Dans un triangle \(ABC\), les médianes issues de \(A\), \(B\) et \(C\) se coupent en un point \(G\). Comment s’appelle ce point ?

Réponse

Le point \(G\) est le centre de gravité (ou centroïde) du triangle \(ABC\).

Corrigé détaillé

Présentation du problème

Dans un triangle \(ABC\), on trace les trois médianes, c’est-à-dire les segments joignant chaque sommet au milieu du côté opposé. Ces médianes se rencontrent en un même point que l’on appelle le centre de gravité ou centroïde du triangle.

Définition et construction des médianes

• Soit \(M\) le milieu du segment \([BC]\), \(N\) le milieu de \([CA]\) et \(P\) le milieu de \([AB]\).
• Les médianes sont alors les segments :
  • \(AM\) (de \(A\) à \(M\)),
  • \(BN\) (de \(B\) à \(N\)),
  • \(CP\) (de \(C\) à \(P\)).

Propriété de concourance

Un théorème fondamental de la géométrie plane affirme que les trois médianes d’un triangle sont concourantes, c’est-à-dire qu’elles se coupent toutes en un même point, que l’on nomme \(G\).

Illustration

1. On place le point \(M\) au milieu de \([BC]\).
   
2. On trace la médiane \(AM\).
   
3. De même, on construit \(N\) au milieu de \([CA]\) et la médiane \(BN\).
   
4. Enfin, on construit \(P\) au milieu de \([AB]\) et la médiane \(CP\).
   
5. Les droites contenant \(AM\), \(BN\) et \(CP\) se coupent toutes en un même point \(G\).

Qu’est-ce que le centre de gravité / centroïde ?

• Le centre de gravité (ou centroïde) d’un triangle est le point de concourance des trois médianes.
• C’est le point d’équilibre du triangle : si on imagine un matériau uniforme, on pourrait placer un clou en \(G\) et le triangle tiendrait en équilibre.

Propriété de répartition sur les médianes

Le point \(G\) partage chaque médiane en deux parties dont l’une (celle qui va du sommet au centre de gravité) est deux fois plus longue que l’autre (celle qui va du centre de gravité au milieu du côté). Cette propriété permet de repérer géométriquement \(G\) : - Sur la médiane \(AM\), le segment \(AG\) est deux fois plus long que \(GM\).
- Idem pour les médianes \(BN\) et \(CP\).

Conclusion

Le point où se coupent les trois médianes d’un triangle est appelé centre de gravité ou centroïde. C’est un point remarquable qui a des propriétés d’équilibre et de partage proportionnel sur les médianes.