Exercice 23

Dans un triangle \(ABC\), on sait que \(AB = 8\) cm, \(AC = 6\) cm et \(\angle BAC = 90°\). Calculer \(BC\) et le périmètre du triangle.

Réponse

\(BC = 10\text{ cm}\) et \(P = 24\text{ cm}\)

Corrigé détaillé

Compréhension de l’énoncé

Données

• Triangle ABC avec un angle droit en A.
• AB mesure \(8\) cm.
• AC mesure \(6\) cm.

Objectif

1. Calculer la longueur BC.
2. Déterminer le périmètre du triangle.

Rappel du théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore énonce que le carré de la longueur de l’hypoténuse (le côté opposé à l’angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Application au triangle ABC

1. Calcul des carrés des deux côtés de l’angle droit :
   • Le carré de AB est obtenu en multipliant 8 par 8, ce qui donne 64.
   • Le carré de AC est obtenu en multipliant 6 par 6, ce qui donne 36.
2. Somme des deux carrés : \[64 + 36 = 100\]
3. Recherche de la longueur de BC :
   • On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 100. Ce nombre est 10.
   • BC mesure donc \(10\) cm.

Calcul du périmètre

Le périmètre P du triangle est la somme des longueurs des trois côtés :

\[ P = AB + AC + BC = 8 + 6 + 10 = 24\text{ cm} \]

Conclusion

• BC = 10 cm
• Périmètre = 24 cm