Exercice 6

Tracer l’image d’un rectangle par symétrie axiale par rapport à l’un de ses côtés.

Réponse

Le symétrique du rectangle \(ABCD\) par rapport à son côté \(AB\) est le rectangle \(A'B'C'D'\) où \(A'=A\), \(B'=B\), et \(C'\), \(D'\) sont les symétriques de \(C\) et \(D\) par rapport à la droite \(AB\).

Corrigé détaillé

Énoncé

Tracer l’image d’un rectangle par symétrie axiale par rapport à l’un de ses côtés.

Rappels de cours

• Définition de la symétrie axiale : c’est la transformation qui associe à chaque point \(P\) son image \(P'\) telle que la droite support de l’axe est la médiatrice du segment \(PP'\).
• Propriété importante : tout point situé sur l’axe est invariant, c’est-à-dire qu’il coïncide avec son image.

Construction pas à pas

1. Choix de l’axe de symétrie
   • Dans notre cas, l’axe est la droite \(\ell\) passant par les sommets \(A\) et \(B\) du rectangle.
2. Images de \(A\) et de \(B\)
   • Comme \(A\) et \(B\) sont sur l’axe, ils ne bougent pas : \[ A' = A, \quad B' = B. \]
3. Construction de l’image de \(C\)
   • Tracer la perpendiculaire à \(\ell\) passant par \(C\). Appelons \(H_C\) le pied de cette perpendiculaire.
   • Placer \(C'\) de l’autre côté de \(\ell\) sur cette perpendiculaire en veillant à ce que \[ H_C C = H_C C'. \]
4. Construction de l’image de \(D\)
   • De manière analogue, tracer la perpendiculaire à \(\ell\) passant par \(D\), avec pied \(H_D\).
   • Placer \(D'\) de l’autre côté de \(\ell\) tel que \[ H_D D = H_D D'. \]
5. Tracé final
   • Relier les points dans l’ordre : \(A'B'\), \(B'C'\), \(C'D'\), \(D'A'\). On obtient le rectangle image.

Justification et conclusion

• Par construction, pour chaque point original et son image, l’axe est la médiatrice de leur segment, garantissant la symétrie.
• La symétrie axiale conserve les longueurs et les angles droits, donc l’image d’un rectangle est un rectangle de même dimensions.

Ainsi, le rectangle initial \(ABCD\) est transformé en \(A'B'C'D'\) par symétrie axiale d’axe \(AB\).