Exercice 18

Tracer l’image d’un pentagone régulier par symétrie axiale par rapport à une droite passant par deux sommets opposés.

Réponse

Le pentagone obtenu est \(A'B'C'D'E'\), image de \(ABCDE\) par la symétrie d’axe la droite \(AD\), avec

\(A'=A\), \(D'=D\), \(B',C',E'\) symétriques respectivement de \(B,C,E\) par rapport à \(AD\).

Corrigé détaillé

Contexte et définition

Dans le plan, une symétrie axiale est une transformation qui renvoie chaque point \(P\) en un point \(P'\) tel que : - la droite d’axe (ici la droite \(AD\)) est la médiatrice du segment \([PP']\), - le segment \([PP']\) est perpendiculaire à cet axe.

Pour un pentagone régulier \(ABCDE\) et pour l’axe passant par les sommets \(A\) et \(D\), on construit l’image de chaque sommet.

Étape 1 : Identifier les points fixes

Les sommets situés sur l’axe de symétrie restent immobiles : - \(A' = A\) - \(D' = D\)

Étape 2 : Construire les images des autres sommets

Pour chacun des sommets \(B\), \(C\) et \(E\) qui ne sont pas sur l’axe :

1. Tracer la droite \(d\) perpendiculaire à l’axe \(AD\) passant par le sommet considéré (par exemple \(B\)).
2. Sur la perpendiculaire, placer le point \(B'\) de telle sorte que \(B\) soit le milieu du segment \([BB']\).
3. Répéter cette construction pour \(C\) et pour \(E\), obtenant ainsi \(C'\) et \(E'\).

Cette méthode assure que chaque segment \([PP']\) est perpendiculaire à l’axe et que le point de l’axe est la médiatrice du segment, conformément à la définition de la symétrie axiale.

Illustration des constructions

• Sur la droite \(AD\), marquer successivement les points \(A\) et \(D\).
• Pour \(B\) :
  • Tracer la perpendiculaire à \(AD\) passant par \(B\).
  • Reporter la distance \(BB'\) de part et d’autre de \(B\) pour que \(B\) en soit le milieu.
• Procéder de la même façon pour \(C\) et \(E\).

Étape 3 : Recomposer le pentagone image

Relier dans l’ordre les points \(A'\), \(B'\), \(C'\), \(D'\), \(E'\). On obtient un pentagone régulier qui est l’image du pentagone initial par la symétrie d’axe \(AD\).

Propriétés et vérification

• Les distances \(A B = A'B'\), \(B C = B'C'\), etc., sont conservées, d’où la régularité du pentagone image.
• Les angles au centre restent inchangés par symétrie axiale.

Conclusion

Le pentagone \(A'B'C'D'E'\) est exactement l’image de \(ABCDE\) par la symétrie axiale d’axe la droite \(AD\). Les points \(A\) et \(D\) restent fixes, et chaque autre sommet est construit par la médiatrice perpendiculaire à l’axe.