Exercice 28
Un cercle de rayon 4 cm subit une symétrie axiale. Quel est le rayon
du cercle image ?
Réponse
\(4\ \mathrm{cm}\)
Corrigé détaillé
Correction détaillée
Propriété de la symétrie
axiale
La symétrie axiale est une isométrie, c’est-à-dire une transformation
qui conserve les distances entre tous les points. Concrètement, si un
point A se transforme en A′ et un point B en B′, alors la longueur du
segment \(\overline{AB}\) est la même
que celle de \(\overline{A'B'}\).
Application à un cercle
- On considère un cercle de centre O et de rayon 4 cm. Par définition,
la longueur du segment \(\overline{OM}\), où M est un point
quelconque du cercle, est égale au rayon, soit 4 cm.
- Sous l’effet de la symétrie axiale, le point O se transforme en son
image O′ et le point M en son image M′.
- Comme la symétrie conserve les distances, la longueur de \(\overline{O'M'}\) reste égale à
celle de \(\overline{OM}\),
c’est-à-dire 4 cm. Or, cette longueur est précisément le rayon du cercle
image.
Conclusion
Le cercle obtenu après symétrie axiale a pour rayon la même mesure
que le cercle de départ, soit 4 cm.