Exercice 21

Un carré \(ABCD\) subit une symétrie axiale par rapport à la droite \((AC)\). Décrire l’image obtenue.

Réponse

Le carré \(ABCD\) se réfléchit en lui-même : \(A\mapsto A\), \(C\mapsto C\), \(B\mapsto D\) et \(D\mapsto B\).

Corrigé détaillé

Correction détaillée

1. Définition de la symétrie axiale

La symétrie axiale par rapport à une droite (l’axe) transforme chaque point de façon à ce que l’axe soit la médiatrice du segment joignant un point et son image. L’axe est perpendiculaire à ce segment et passe par son milieu.

2. Identification de l’axe de symétrie

Ici, l’axe de symétrie est la diagonale \((AC)\) du carré \(ABCD\).

3. Points invariants

Tout point situé sur l’axe de symétrie reste fixe. Comme \(A\) et \(C\) appartiennent à la droite \((AC)\), on a :

• \(A\mapsto A\)
• \(C\mapsto C\)

4. Image des autres sommets

Considérons le sommet \(B\) qui n’appartient pas à l’axe. Pour trouver son image : 1. On trace la perpendiculaire à l’axe \((AC)\) passant par \(B\).
2. On repère le point \(B'\) sur cette perpendiculaire tel que le segment \([BB']\) soit coupé en son milieu par \((AC)\).
Or, dans un carré, les diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. La diagonale \((BD)\) est donc envoyée sur elle-même avec un échange de ses extrémités.
Ainsi, on obtient :

• \(B\mapsto D\)
• Par symétrie, le sommet \(D\) se réfléchit en \(B\).

Conclusion

L’image du carré \(ABCD\) par la symétrie axiale de la droite \((AC)\) est le même carré avec les sommets \(B\) et \(D\) échangés. On peut noter ce carré image \(ADCB\).