Exercice 15

Tracer l’image d’un parallélogramme par translation de vecteur \(\vec{v}(3, 2)\).

Réponse

Parallélogramme A′B′C′D′ tel que \(A'=A+(3,2),\;B'=B+(3,2),\;C'=C+(3,2),\;D'=D+(3,2)\).

Corrigé détaillé

Rappel sur la translation

Une translation de vecteur \(\vec v(3,2)\) est une transformation du plan qui associe à tout point \(M(x,y)\) un point \(M'(x',y')\) tel que :

\[ \vec{MM'} = \vec v \quad\Longleftrightarrow\quad x' = x + 3 \quad\text{et}\quad y' = y + 2. \]

Propriété

La translation conserve les longueurs et les parallélismes. En particulier, l’image d’un parallélogramme reste un parallélogramme de même forme et même taille.

Étapes de construction

1. Soit \(ABCD\) le parallélogramme initial de sommets \(A(x_A,y_A)\), \(B(x_B,y_B)\), \(C(x_C,y_C)\) et \(D(x_D,y_D)\).
2. Appliquer la règle de la translation à chaque sommet :
   • \(A'(x_A+3,\,y_A+2)\)
   • \(B'(x_B+3,\,y_B+2)\)
   • \(C'(x_C+3,\,y_C+2)\)
   • \(D'(x_D+3,\,y_D+2)\)
3. Reporter les points \(A'\), \(B'\), \(C'\) et \(D'\) sur le plan.
4. Relier successivement \(A'\to B'\to C'\to D'\to A'\) pour former le parallélogramme image.

Vérification

• Longueurs : \(A'B'=AB,\;B'C'=BC\) …
• Parallélismes : \(A'B'\parallel AB,\;B'C'\parallel BC\) …

Conclusion

L’image du parallélogramme \(ABCD\) par la translation de vecteur \(\vec v(3,2)\) est le parallélogramme \(A'B'C'D'\), obtenu en ajoutant 3 à l’abscisse et 2 à l’ordonnée de chacun de ses sommets.