Exercice 2

Construire l’image d’un segment \([AB]\) par symétrie axiale par rapport à une droite \((d)\).

Réponse

\([A'B']\)

Corrigé détaillé

Énoncé

On souhaite construire l’image du segment \([AB]\) par la symétrie axiale d’axe \((d)\).

Rappels

Définition

La symétrie axiale d’axe \((d)\) associe à chaque point \(P\) son image \(P'\) telle que la droite \((d)\) est la médiatrice du segment \([PP']\).

Propriétés

• La droite \((d)\) est perpendiculaire à \(PP'\).
• Le point d’intersection \(H\) de \(PP'\) avec \((d)\) est le milieu de \([PP']\).
• Si un point \(M\) appartient à l’axe \((d)\), alors son image est lui-même.

Construction

1. Pour construire \(A'\), l’image de \(A\) :
   • Tracer la perpendiculaire à \((d)\) passant par \(A\).
   • Noter \(H\) le point d’intersection avec \((d)\).
   • Reporter la longueur \(AH\) de l’autre côté de \((d)\) sur cette perpendiculaire, à partir de \(H\). Le point obtenu est \(A'\).
2. Pour construire \(B'\), l’image de \(B\) :
   • Tracer la perpendiculaire à \((d)\) passant par \(B\).
   • Nommer \(H'\) le pied de la perpendiculaire sur \((d)\).
   • Reporter la longueur \(BH'\) de l’autre côté de \((d)\) ; on obtient \(B'\).
3. Relier les points \(A'\) et \(B'\). Le segment \([A'B']\) est l’image de \([AB]\).

Justification

D’après la définition et les propriétés de la symétrie axiale, chaque point et son image sont tels que l’axe est la médiatrice du segment qui les relie. En respectant la perpendicularité et l’égalité des distances, on construit correctement les images \(A'\) et \(B'\). Ainsi, l’image du segment \([AB]\) est le segment \([A'B']\).