Exercice 20

Construire l’image d’un triangle \(ABC\) par rotation de 180° autour du milieu de \([BC]\).

Réponse

On obtient \[B'=C,\quad C'=B,\quad A'\text{ est le point tel que }M\text{ est le milieu de }[AA']. \]

Corrigé détaillé

Présentation de l’exercice

Nous voulons construire l’image du triangle \(ABC\) par la rotation de centre \(M\), milieu de \([BC]\), et d’angle \(180^\circ\).

Rappel sur la rotation de \(180^\circ\)

• Une rotation de centre \(M\) et d’angle \(180^\circ\) envoie chaque point \(P\) sur le point \(P'\) tel que \(M\) est le milieu du segment \([PP']\).
• En particulier, l’image de \([BC]\) échange ses extrémités : le point \(B\) va en \(B'\) et \(C\) en \(C'\), avec \[ M\text{ milieu de }[BB'] \quad\text{et}\quad M\text{ milieu de }[CC']. \]

Étapes de construction

1. Construction du point \(M\)

• Avec la règle et le compas, construire le milieu \(M\) du segment \([BC]\) :
  1. Ouvrir le compas à une ouverture supérieure à la moitié de \(BC\).
  2. Tracer deux arcs de cercle de centre \(B\) et \(C\) se coupant en deux points.
  3. Relier ces deux intersections pour obtenir la médiatrice de \([BC]\).
  4. L’intersection de cette médiatrice avec \([BC]\) est \(M\).

2. Image de \(B\) et \(C\)

• Par la propriété de la rotation de \(180^\circ\), on sait que \[B'=C\quad\text{et}\quad C'=B.\] En effet, comme \(M\) est milieu de \([BC]\), l’image de \(B\) se place au même endroit que \(C\), et réciproquement.

3. Image de \(A\)

• Pour construire \(A'\), symétrique de \(A\) par rapport à \(M\) :
  1. Tracer la droite \((MA)\).
  2. Reporter la distance \(MA\) de l’autre côté de \(M\) le long de \((MA)\), avec le compas.
  3. Le second point d’intersection de ce report est \(A'\).
• On obtient ainsi \(M\) comme milieu de \([AA']\), conformément à la définition de la rotation de \(180^\circ\).

Conclusion

L’image du triangle \(ABC\) par la rotation de centre \(M\) et d’angle \(180^\circ\) est le triangle \(A'B'C'\) tel que : \[ B'=C, \;C'=B, \;A'\text{ est le symétrique de }A\text{ par rapport à }M. \] Cette construction fait intervenir uniquement les propriétés de symétrie centrale et les outils classiques de la géométrie de collège.