Exercice 27

Tracer l’image d’un triangle \(ABC\) par la composée de deux symétries centrales de centres \(O_1\) et \(O_2\).

Réponse

Le triangle image est le triangle A’‘B’‘C’’ obtenu par la translation de vecteur \(2\overrightarrow{O_1O_2}\) : \[A''=A+2\overrightarrow{O_1O_2},\quad B''=B+2\overrightarrow{O_1O_2},\quad C''=C+2\overrightarrow{O_1O_2}.\]

Corrigé détaillé

Introduction

Pour comprendre l’image du triangle ABC par la composée de deux symétries centrales de centres O₁ et O₂, nous allons :

1. Rappeler la définition d’une symétrie centrale.
2. Étudier la composition de deux symétries centrales.
3. Appliquer ce résultat au triangle ABC.

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1. Définition d’une symétrie centrale

Une symétrie centrale de centre O est une transformation qui envoie un point X sur son image X′ telle que O soit le milieu du segment XX′. Formellement : \[ \overrightarrow{OX'} = -\overrightarrow{OX}. \]

Graphiquement, pour construire X′, on trace la droite OX puis, à partir de O, on reporte le même segment dans la direction opposée.

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2. Composition de deux symétries centrales

Soient S₁ la symétrie centrale de centre O₁ et S₂ celle de centre O₂. Pour un point X, notons : - X′ = S₁(X) - X″ = S₂(X′) = S₂(S₁(X)).

2.1 Propriété clé

La composée de deux symétries centrales S₂∘S₁ est une translation de vecteur \(2\overrightarrow{O_1O_2}\). Autrement dit : \[ S_2\bigl(S_1(X)\bigr) = X + 2\overrightarrow{O_1O_2}. \]

Justification succincte : - Par symétrie centrale de centre O₁, on a \(\overrightarrow{O_1X'}=-\overrightarrow{O_1X}\).
- Par symétrie centrale de centre O₂, on a \(\overrightarrow{O_2X''}=-\overrightarrow{O_2X'}\).
- En sommant les relations vectorielles et en réarrangeant, on trouve \(\overrightarrow{XX''}=2\overrightarrow{O_1O_2}\).

Ainsi, tout point X est déplacé selon la même direction et le même module, ce qui définit la translation de vecteur \(2\overrightarrow{O_1O_2}\).

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3. Application au triangle ABC

Pour chaque sommet (A, B, C) du triangle : 1. Appliquer la symétrie S₁ de centre O₁ → obtenir A′, B′, C′. 2. Appliquer la symétrie S₂ de centre O₂ → obtenir A″, B″, C″. 3. D’après la propriété précédente, on passe directement de A à A″ par une translation de vecteur \(2\overrightarrow{O_1O_2}\), et de même pour B et C.

Résultat final

L’image du triangle ABC par la composée des deux symétries centrales est le triangle A″B″C″ défini par : \[ A'' = A + 2\overrightarrow{O_1O_2}, \quad B'' = B + 2\overrightarrow{O_1O_2}, \quad C'' = C + 2\overrightarrow{O_1O_2}. \]

Ce triangle est obtenu par translation de ABC selon le vecteur \(2\overrightarrow{O_1O_2}\).

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Bilan pédagogique

• Symétrie centrale : réflexion par rapport à un point, milieu de chaque segment.
• Composition de deux symétries : translation (vecteur deux fois l’écart des centres).
• Application : pour tracer l’image, il suffit de transporter chaque sommet du même vecteur.

Cette méthode évite de tracer deux fois la symétrie en utilisant directement la propriété de la composition.