Exercice 22
Tracer l’image d’un hexagone régulier par rotation de 60° autour de
son centre.
Réponse
L’image de l’hexagone régulier \(ABCDEF\) par la rotation de 60° autour de
son centre \(O\) est l’hexagone \(A'B'C'D'E'F'\) tel
que \(A'=B,\;B'=C,\;C'=D,\;D'=E,\;E'=F,\;F'=A\).
Corrigé détaillé
Présentation de l’exercice
Nous disposons d’un hexagone régulier \(ABCDEF\) de centre \(O\). Il s’agit de tracer son image par une
rotation de 60° autour de \(O\).
Rappel sur la rotation
- Une rotation de centre \(O\) et
d’angle \(\alpha\) en géométrie plane
transforme chaque point \(M\) en un
point \(M'\) tel que \(OM=OM'\) et l’angle \(\widehat{MOM'}\) vaut \(\alpha\) (sens direct si l’angle est
positif).
- Les longueurs et les angles sont conservés.
1. Propriétés de l’hexagone
régulier
- Tous les côtés \(AB, BC, CD, DE, EF,
FA\) sont de même longueur.
- Les points \(A,B,C,D,E,F\) sont
situés à égale distance du centre \(O\).
- Les angles au centre \(\widehat{AOB},
\widehat{BOC}, \dots\) valent tous 60°.
2. Effet de la rotation de 60°
- Choisissons le sens direct (sens anti-horaire) pour l’angle positif
de 60°.
- Sous cette rotation, chaque sommet \(X\) se déplace sur le cercle de centre
\(O\) et d’angle 60° vers le sommet
suivant :
- \(A\) se transforme en \(A'\) tel que \(\widehat{AOA'} = 60°\). Or l’arc entre
\(A\) et \(B\) vaut 60° (hexagone régulier), donc
\(A'\) coïncide avec \(B\).
- De même, \(B'\) coïncide avec
\(C\), \(C'\) avec \(D\), \(D'\) avec \(E\), \(E'\) avec \(F\), \(F'\) avec \(A\).
3. Construction graphique
- Tracer les cercles de centre \(O\)
passant par chacun des sommets \(A,B,\dots,F\).
- Pour chaque sommet \(X\), mesurer
l’angle de 60° autour de \(O\) dans le
sens anti-horaire et marquer le point \(X'\) sur le cercle.
- Relier successivement \(A'B'C'D'E'F'\) pour
obtenir l’hexagone image.
4. Conclusion
L’hexagone régulier \(ABCDEF\)
tourné de 60° autour de \(O\) donne
l’hexagone \(A'B'C'D'E'F'\) où :
\[
A'=B,\quad B'=C,\quad C'=D,\quad D'=E,\quad
E'=F,\quad F'=A.
\]
Cette construction respecte la conservation des distances et des
angles caractéristiques de la rotation.
Fin de la correction.