Exercice 24

Construire l’image d’un triangle isocèle par symétrie axiale par rapport à sa hauteur principale.

Réponse

Le triangle image est \(ACB\), avec \(A'=A\), \(B'=C\) et \(C'=B\).

Corrigé détaillé

Contexte et rappel

On considère un triangle isocèle \(ABC\) de sommet principal \(A\) et de base \(BC\). Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal possède deux propriétés :

1. Elle est perpendiculaire à la base \(BC\).
   
2. Elle coupe \(BC\) en son milieu \(M\).

Par conséquent, cette hauteur \((AH)\) est également l’axe de symétrie du triangle.

Étape 1 : tracer la hauteur principale

1. Sur le segment \(BC\), repère son milieu \(M\).
   
2. Trace la droite \((AH)\) avec \(H\) sur \(BC\) telle que \(AH\) soit perpendiculaire à \(BC\).

Ainsi, \(AH\) est la hauteur principale et l’axe de symétrie du triangle isocèle.

Étape 2 : propriété de la symétrie axiale

En symétrie axiale par rapport à l’axe \((AH)\) :
- Tout point situé sur \((AH)\) reste fixe.
- Pour tout autre point \(X\), son image \(X'\) est telle que \((AH)\) soit la médiatrice de \([XX']\).

Étape 3 : application aux sommets

1. Le sommet \(A\) se trouve sur l’axe \((AH)\), il reste donc fixe :
   \[A' = A.\]
2. On cherche l’image de \(B\). En symétrie, on sait que le jumelage échange les deux extremités de la base \(BC\). Ainsi,
   \[B' = C.\]
3. De même, l’image de \(C\) est
   \[C' = B.\]

Étape 4 : conclusion

Les trois points image sont \(A',B',C'\) avec :

• \(A' = A\)
• \(B' = C\)
• \(C' = B\)

Le triangle image est donc le triangle \(A'B'C'\), c’est-à-dire \(ACB\).