Exercice 1

Tracer l’image d’un point \(A\) par une translation de vecteur \(\vec{u}\) donné.

Réponse

Dans un repère, l’image du point \(A(x_A,y_A)\) par la translation de vecteur \(\vec u=(u_x,u_y)\) est \[A'\bigl(x_A+u_x,\;y_A+u_y\bigr).\]

Corrigé détaillé

Présentation de l’exercice

Vous devez construire l’image d’un point A par une translation définie par le vecteur \(\vec u\).

Objectif

Tracer le point A′ tel que le segment AA′ représente le vecteur \(\vec u\).

Rappel : notion de translation

• Une translation de vecteur \(\vec u\) « déplace » chaque point X en un point X′.
• Le segment XX′ est parallèle, de même longueur et de même sens que le vecteur \(\vec u\).

Construction géométrique pas à pas

1. Reproduction du vecteur
   • Placez l’origine de \(\vec u\) sur le point A.
     
   • Conservez strictement l’orientation (angle) et la longueur du vecteur.
2. Obtention du nouveau point
   • Le bout de la flèche placée sur A est précisément le point A′.
3. Vérification
   • Vérifiez que le segment AA′ est parallèle à \(\vec u\).
   • Vérifiez que sa longueur correspond exactement à celle de \(\vec u\).

Interprétation dans un repère orthonormal

1. On choisit un repère avec deux axes perpendiculaires (horizontal, vertical).
2. Le vecteur \(\vec u\) se décompose en :
   • un déplacement horizontal de longueur \(u_x\) (vers la droite si \(u_x>0\), vers la gauche si \(u_x<0\)),
   • un déplacement vertical de longueur \(u_y\) (vers le haut si \(u_y>0\), vers le bas si \(u_y<0\)).
3. En partant du point \(x_A,y_A\) et en reportant ces deux déplacements, on obtient le point A′.

Conclusion

L’image du point A par la translation de vecteur \(\vec u=(u_x,u_y)\) est le point \[ A'\bigl(x_A+u_x,\;y_A+u_y\bigr)\] obtenu en reportant les mêmes déplacements horizontaux et verticaux indiqués par \(\vec u\).