Exercice 31

Un triangle \(ABC\) est transformé par symétrie axiale par rapport à une droite \((d)\) passant par \(A\). Où se trouve l’image \(A'\) de \(A\) ?

Réponse

L’image de \(A\) est \(A\) lui-même, soit \(A'=A\).

Corrigé détaillé

Rappel : définition de la symétrie axiale

La symétrie axiale par rapport à une droite \((d)\) associe à chaque point \(P\) un point \(P'\) tel que la droite \((d)\) est la médiatrice du segment \([PP']\).

1. Propriété des points sur l’axe

• Un point situé sur l’axe de symétrie ne se déplace pas.
• En effet, si \(P\) appartient déjà à la droite \((d)\), alors pour que \((d)\) soit la médiatrice du segment \([PP']\), il faut que le milieu de \([PP']\) soit sur \((d)\) et que \([PP']\) soit perpendiculaire à \((d)\).
• Or, si \(P\) est déjà sur \((d)\), le seul moyen de conserver ces conditions est de prendre \(P'=P\).

2. Application au point \(A\)

• La droite \((d)\) passe par \(A\). Donc \(A\) est un point de l’axe de symétrie.
• Par la propriété précédente, son image \(A'\) coïncide avec \(A\).

Conclusion

L’image du point \(A\) par cette symétrie axiale est \(A\) lui-même.