Exercice 30

Démontrer qu’une symétrie centrale conserve les longueurs : si \(AB = 5\) cm, alors son image \(A'B' = 5\) cm.

Réponse

\(A'B' = 5\) cm

Corrigé détaillé

Contexte et objectif

On veut démontrer que la symétrie centrale de centre O est une isométrie : elle conserve les longueurs. En particulier, si \(AB = 5\) cm, alors son image \(A'B'\) mesure aussi 5 cm.

Définition de la symétrie centrale

dans le plan, la symétrie centrale de centre \(O\) envoie chaque point \(X\) sur son symétrique \(X'\) tel que \(O\) est le milieu du segment \([XX']\).

Conséquences immédiates

1. \(O\) est le milieu de \([AA']\).
2. \(O\) est le milieu de \([BB']\).

Construction d’un quadrilatère

Considérons le quadrilatère \(A B B' A'\). Les diagonales \([A A']\) et \([B B']\) se coupent toutes les deux en leur milieu \(O\).

Propriétés d’un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu

Dans un quadrilatère, si les deux diagonales se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Or, dans un parallélogramme, les côtés opposés sont égaux et parallèles.

Application au cas présent

Le quadrilatère \(A B B' A'\) est donc un parallélogramme. On en déduit \[ AB = A'B'. \]

Conclusion

Comme on a supposé \(AB = 5\) cm, on obtient immédiatement \[ A'B' = 5\text{ cm}. \] Ainsi, la symétrie centrale conserve bien les longueurs.