Exercice 29

Construire l’image d’un rectangle par rotation de 90° dans le sens horaire autour de l’un de ses sommets.

Réponse

Le rectangle image est A B′ C′ D′ obtenu de la façon suivante :

\(A'=A,\)

\(B'\in[AD)\) tel que \(AB'=AB,\)

\(D'\in[AB)\) tel que \(AD'=AD,\)

\(C'\) est l’intersection de la parallèle à \((AB)\) passant par \(D'\) et de la parallèle à \((AD)\) passant par \(B'\).

Corrigé détaillé

Contexte et rappel

On se place dans un plan muni d’un repère quelconque. Soit \(ABCD\) un rectangle et on veut construire son image par la rotation de centre \(A\) et d’angle \(90^\circ\) dans le sens horaire. Rappel :

• Une rotation conserve les distances et les angles.
  
• Une rotation de \(90^\circ\) horaire tourne chaque point de façon à ce que l’ancien axe horizontal devienne vertical orienté vers le bas.

Étape 1 : Choix du centre de rotation

Le centre de la rotation est le sommet \(A\). Après la rotation, \(A\) reste fixe : on note \(A'=A\).

Étape 2 : Construction de \(B'\)

1. On sait que l’image de \(B\) est un point \(B'\) tel que :
   • \(AB'=AB\) (conservation de la distance)
   • L’angle \(\angle B'AB = 90^\circ\) dans le sens horaire.
2. Géométriquement, cela signifie que \(B'\) se trouve sur la demi-droite \([AD)\) issue de \(A\) et qu’on place \(B'\) à la distance \(AB\) de \(A\).

On trace donc la demi-droite \([AD)\), puis on reporte la longueur \(AB\) sur cette droite pour obtenir \(B'\).

Étape 3 : Construction de \(D'\)

De même, l’image de \(D\) est \(D'\) tel que :

• \(AD'=AD\)
  
• \(\angle D'AD = 90^\circ\) horaire.

On en déduit que \(D'\) est sur la demi-droite \([AB)\) issue de \(A\). On y reporte la longueur \(AD\) pour marquer \(D'\).

Étape 4 : Construction de \(C'\)

Le point \(C\) étant l’intersection des parallèles à \((AB)\) passant par \(D\) et à \((AD)\) passant par \(B\), son image \(C'\) se trouve de manière analogue :

• On trace la parallèle à la droite \((AB)\) passant par \(D'\).
• On trace la parallèle à la droite \((AD)\) passant par \(B'\).
• Leur intersection définit \(C'\).

Vérification

• On a bien \(AB'=AB\) et \(AD'=AD\).
  
• Les angles \(\angle B'AB\) et \(\angle D'AD\) mesurent \(90^\circ\) horaire.
  
• Enfin, les côtés \(B'C'\) et \(C'D'\) sont parallèles respectivement à \(BC\) et \(CD\), ce qui assure que \(A'B'C'D'\) est un rectangle.

On a ainsi construit l’image du rectangle \(ABCD\) par la rotation de centre \(A\) et d’angle \(90^\circ\) horaire.