Exercice 5

Un point \(A(3, 2)\) subit une translation de vecteur \(\vec{u}(2, -1)\). Quelles sont les coordonnées de son image \(A'\) ?

Réponse

\((5,1)\)

Corrigé détaillé

Présentation de l’exercice

On dispose d’un point A de coordonnées \(A(3,2)\) et d’un vecteur de translation \(\vec u(2,-1)\). L’objectif est de déterminer les coordonnées de l’image A′ de A par cette translation.

Notion de translation

Une translation de vecteur \(\vec u(a,b)\) déplace chaque point \(P(x,y)\) de telle sorte que l’image \(P'\) vérifie :

\[ P'(x',y') = (x + a,\;y + b). \]

C’est la propriété fondamentale : on ajoute la composante horizontale du vecteur à l’abscisse, et la composante verticale à l’ordonnée.

Application aux coordonnées

1. Repérer les composantes :

   • Abscisse de A : \(x_A = 3\)
   • Ordonnée de A : \(y_A = 2\)
   • Composantes du vecteur : \(a = 2\), \(b = -1\)

2. Calcul de la nouvelle abscisse :

   On ajoute \(a = 2\) à \(x_A = 3\) : \[ x' = 3 + 2 = 5. \]

3. Calcul de la nouvelle ordonnée :

   On ajoute \(b = -1\) à \(y_A = 2\) : \[ y' = 2 + (-1) = 1. \]

Conclusion

L’image du point \(A(3,2)\) par la translation de vecteur \(\vec u(2,-1)\) est le point

\[ A'(5,1). \]