Exercice 9

Tracer l’image d’un losange par symétrie axiale par rapport à l’une de ses diagonales.

Réponse

\(\text{Le losange est invariant par la symétrie axiale : son image se superpose à lui-même (A↦A, B↦D, C↦C, D↦B).}\)

Corrigé détaillé

Énoncé

Tracer l’image d’un losange par symétrie axiale d’axe sa diagonale AC.

Rappel du théorème de la symétrie axiale

Soit une droite (axe) \(\Delta\) et un point \(P\) : - Si \(P\) appartient à l’axe \(\Delta\), alors son image \(P'\) est le même point : \[P'=P.\] - Si \(P\) n’appartient pas à \(\Delta\), alors son image \(P'\) est construite de telle sorte que : - la droite \(\Delta\) est la médiatrice du segment \([PP']\), - et \[\mathrm{d}(P,\Delta)=\mathrm{d}(P',\Delta).\]

Construction pas à pas

1. Définir l’axe de symétrie

L’axe est la diagonale \([AC]\) du losange. Tous les points de cette diagonale restent fixes.

2. Construire l’image des sommets

• Sommets sur l’axe :
  • A et C appartiennent à l’axe ⇒ \(A'=A\) et \(C'=C\).
• Sommets hors de l’axe :
  1. Prenez le sommet B. Tracez la perpendiculaire à l’axe [AC] passant par B.
  2. Sur cette perpendiculaire, placez B′ de l’autre côté de l’axe à la même distance de l’axe que B (la droite [AC] est médiatrice de [BB′]).
  3. On constate que ce point B′ coïncide avec le sommet D du losange initial. Donc \(B'=D\).
  De façon analogue, en réfléchissant D, on obtient \(D'=B\).

3. Tracer l’image du losange

Reliez successivement dans l’ordre les points : \[A'\,(=A),\quad B'\,(=D),\quad C'\,(=C),\quad D'\,(=B),\quad \text{et retour à }A'.\] On obtient ainsi le losange \(A D C B\), qui se superpose exactement à l’original.

Conclusion

Le losange est invariant par la symétrie axiale d’axe sa diagonale : son image se confond avec lui-même, seuls les points B et D sont échangés.