Exercice 35

Démontrer que la composée de deux symétries axiales par rapport à deux droites parallèles est une translation. Illustrer avec un exemple concret en construisant l’image d’un triangle par cette double symétrie.

Réponse

La composée de deux symétries axiales d’axes parallèles est une translation de vecteur \(\vec v\) perpendiculaire à ces axes et de longueur \(2D\), où \(D\) est la distance entre les droites.

Corrigé détaillé

Présentation de l’exercice

Nous considérons deux droites parallèles \(d\) et \(e\) distantes de \(D\). On note : - \(s_d\) la symétrie axiale d’axe \(d\), - \(s_e\) la symétrie axiale d’axe \(e\).

L’objectif est de montrer que la transformation \(s_e\circ s_d\) est une translation, puis d’illustrer par un exemple concret sur un triangle.

Rappel sur la symétrie axiale

• Si \(M' = s_d(M)\), alors la droite \(d\) est la médiatrice du segment \([MM']\).
• Le segment \([MM']\) est perpendiculaire à \(d\) et les deux moitiés \(MM'\) ont la même longueur.

1. Preuve géométrique de la composée

1. Soit un point quelconque \(P\). Appliquons successivement les deux symétries :
   • \(P' = s_d(P)\) : \(d\) est la médiatrice de \([PP']\),
   • \(P'' = s_e(P')\) : \(e\) est la médiatrice de \([P'P'']\).
2. Les médiatrices \(d\) et \(e\) sont parallèles. Par construction :
   • \([PP']\) est perpendiculaire à \(d\),
   • \([P'P'']\) est perpendiculaire à \(e\). Or deux droites perpendiculaires à deux droites parallèles sont elles-mêmes parallèles. Donc \([PP']\) et \([P'P'']\) sont colinéaires et perpendiculaires aux deux axes.
3. La longueur de \([PP']\) est la distance de \(P\) à \(d\). De même, \([P'P'']\) a la même longueur que la distance de \(P'\) à \(e\). Mais toute perpendiculaire à \(d\) portée jusqu’à \(e\) mesure exactement \(D\). Ainsi :
   • \(|PP'|=d(P,d)\),
   • \(|P'P''|=d(P',e)=D\). De plus, comme la réflexion conserve les distances à l’axe, on trouve \(|PP'|=D\). Donc \[|PP'| + |P'P''| = D + D = 2D.\]
4. Le point \(P''\) est donc obtenu à partir de \(P\) par un déplacement de longueur \(2D\) dans une direction fixe (perpendiculaire aux droites). Ce déplacement s’effectue de manière identique pour tout point \(P\). C’est la définition d’une translation : \[ s_e\circ s_d : P \longmapsto P'' = P + \vec v, \] où \(\vec v\) est un vecteur de module \(2D\) et de direction perpendiculaire aux droites \(d\) et \(e\).

Conclusion : La composée de deux symétries axiales par rapport à deux droites parallèles est une translation de vecteur perpendiculaire aux droites et de longueur \(2D\).

2. Exemple concret sur un triangle

Prenons un triangle \(ABC\) et appliquons la double symétrie :

1. Construisons \(A' = s_d(A)\), \(B' = s_d(B)\), \(C' = s_d(C)\).
2. Puis \(A'' = s_e(A')\), \(B'' = s_e(B')\), \(C'' = s_e(C')\).

Chaque sommet se déplace selon la même translation de vecteur \(\vec v\). On en déduit que l’image du triangle \(ABC\) par \(s_e\circ s_d\) est le triangle \(A''B''C''\), obtenu simplement en translatant \(ABC\) de \(\vec v\).

Visuellement, on trace : - Les perpendiculaires à \(d\) passant par \(A,B,C\) jusqu’à rencontrer \(d\) puis \(e\), - Les segments \([AA'']\), \([BB'']\), \([CC'']\) sont parallèles et égaux, ce qui confirme la translation.

Ainsi, l’énoncé est entièrement démontré et illustré.