Exercice 34

Construire l’image d’un polygone régulier à 8 côtés par rotation de 45° autour de son centre. Que remarque-t-on ?

Réponse

L’octogone régulier est invariant par la rotation de \(45^\circ\) : son image coïncide exactement avec l’octogone initial.

Corrigé détaillé

Contexte et objectifs

On considère un octogone régulier de centre O et de sommets \(A_1,A_2,\dots,A_8\). Nous voulons construire l’image de cet octogone par la rotation de \(45^\circ\) autour de O et observer ce qu’il se passe.

Rappel sur la rotation

• Définition : La rotation de centre O et d’angle \(\alpha\) envoie chaque point M sur un point M′ tel que
  1. \(OM = OM′\) (distance conservée),
  2. l’angle orienté \(\widehat{MOM′} = \alpha\).
• Ici, \(\alpha = 45^\circ\).

Construction pas à pas

1. Repérer le centre O
   L’octogone régulier a un centre de symétrie bien défini, noté O.

2. Choisir un sommet de départ
   Par exemple, prenons le sommet \(A_1\). Tracer le rayon \(OA_1\).

3. Tracer l’image de \(A_1\)

   • À partir de \(OA_1\), mesurer un angle de \(45^\circ\) dans le sens direct (sens trigonométrique).
     
   • Reporter la distance \(OA_1\) pour obtenir le point \(A_1′\).
     On a ainsi construit \(A_1′\), image de \(A_1\) par la rotation de \(45^\circ\).

4. Répéter pour tous les sommets
   De la même façon, chaque sommet \(A_i\) se transforme en un point \(A_i′\) tel que \[ OA_i' = OA_i \quad\text{et}\quad \widehat{A_iOA_i'} = 45^\circ. \]

Observations

• Les longueurs \(OA_i = OA_i'\) montrent que chaque image reste à la même distance du centre O.
• L’angle entre deux rayons consécutifs vaut toujours \(45^\circ\). Dans un octogone régulier, les sommets sont déjà espacés de \(45^\circ\) au centre.
• Ainsi, l’image de chaque sommet \(A_i\) coïncide avec le sommet suivant \(A_{i+1}\) (en numérotation cyclique modulo 8).

Conclusion

La rotation de \(45^\circ\) autour du centre d’un octogone régulier fait exactement correspondre les sommets entre eux sans modifier la forme ni la position globale. Autrement dit, l’octogone est invariant par cette rotation : son image coïncide avec l’octogone de départ.