Un point \(P(5, -2)\) subit une symétrie centrale de centre \(O(0, 0)\). Déterminer les coordonnées de \(P'\).
Les coordonnées de \(P'\) sont \((-5,\,2)\).
Nous avons un point de départ \(P\) de coordonnées \((5, -2)\) et un centre de symétrie centrale \(O\) de coordonnées \((0, 0)\).
Le point \(O(0,0)\) est le milieu du segment reliant \(P(5,-2)\) à son image \(P'(x',y')\). Cela signifie : \[ 0 = \frac{5 + x'}{2}, \] \[ 0 = \frac{-2 + y'}{2}. \] Ces deux égalités expriment que chaque coordonnée de \(O\) est la moyenne des coordonnées correspondantes de \(P\) et \(P'\).
À partir de la première égalité : \[ 0 = \frac{5 + x'}{2} \] Multiplions par 2 pour isoler \(x'\) : \[ 0 = 5 + x'\quad\Longrightarrow\quad x' = -5. \]
À partir de la deuxième égalité : \[ 0 = \frac{-2 + y'}{2} \] Multiplions par 2 pour isoler \(y'\) : \[ 0 = -2 + y'\quad\Longrightarrow\quad y' = 2. \]
Le point image \(P'\) par la symétrie centrale de centre \(O(0,0)\) du point \(P(5,-2)\) a pour coordonnées : \[ P'(-5,\,2). \]