Exercice 26

Un segment \([AB]\) de longueur 6 cm subit une translation. Quelle est la longueur de son image \([A'B']\) ?

Réponse

\(6\,\text{cm}\)

Corrigé détaillé

Correction détaillée

Définition d’une translation

Une translation est un mouvement du plan qui consiste à glisser chaque point d’un même vecteur sans le faire tourner ni le déformer. En d’autres termes, tous les points sont déplacés dans la même direction et de la même distance.

Propriété fondamentale

Une translation est une isométrie. Par définition, une isométrie est une transformation qui conserve les distances entre tous les points. Autrement dit, si un point \(A\) est envoyé sur \(A'\) et \(B\) sur \(B')\) par une même isométrie, alors la longueur du segment \([A'B']\) est égale à celle de \([AB]\).

Application à l’exercice

1. On dispose d’un segment \([AB]\) de longueur \(6\,\text{cm}\).
2. On applique une translation qui envoie \(A\) sur \(A'\) et \(B\) sur \(B'\).
3. Par la propriété de l’isométrie, on a : \[ A'B' = AB. \]
4. Comme \(AB = 6\,\text{cm}\), on en déduit \[ A'B' = 6\,\text{cm}. \]

Conclusion : l’image du segment \([AB]\) par la translation, c’est-à-dire \([A'B']\), a elle aussi une longueur de \(6\,\text{cm}\).