Exercice 10

Construire l’image d’un cercle de centre \(O\) et de rayon 3 cm par symétrie centrale de centre \(O\).

Réponse

Le cercle de centre \(O\) et de rayon \(3\,\mathrm{cm}\).

Corrigé détaillé

Propriété de la symétrie centrale

La symétrie centrale de centre \(O\) est une transformation qui, à chaque point \(M\), associe un point \(M'\) tel que : \[ O\!M = O\!M'\quad\text{et}\quad O\text{ est le milieu de }[MM']. \]

Application au cercle

Considérons le cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(3\,\text{cm}\). Pour tout point \(M\) appartenant à \(\mathcal{C}\), on a : \[ OM = 3\,\text{cm}. \] Son image \(M'\) par la symétrie centrale satisfait également : \[ OM' = OM = 3\,\text{cm}. \] Ainsi, l’ensemble des images des points de \(\mathcal{C}\) est l’ensemble des points situés à \(3\,\text{cm}\) de \(O\), c’est-à-dire le même cercle.

Construction géométrique

1. Tracer le cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(3\,\text{cm}\).
2. Choisir un point \(A\) sur \(\mathcal{C}\).
3. Tracer la droite \((OA)\).
4. Sur cette droite, de l’autre côté de \(O\), reporter la longueur \(OA\) pour obtenir le point \(A'\).
5. Répéter les étapes 2 à 4 pour un ou deux autres points, par exemple \(B\) et \(C\), et leurs images \(B'\), \(C'\).
6. Tracer le cercle de centre \(O\) passant par \(A'\), \(B'\) et \(C'\).

Conclusion

L’image du cercle initial par la symétrie centrale de centre \(O\) est le cercle de centre \(O\) et de rayon \(3\,\text{cm}\), identique au cercle de départ.