Exercice 13

Construire l’image d’un segment \([AB]\) par symétrie centrale de centre \(C\) situé sur le segment.

Réponse

L’image de \([AB]\) par la symétrie centrale de centre \(C\) est le segment \([A'B']\), où \(A'\) et \(B'\) sont les symétriques de \(A\) et \(B\) par rapport à \(C\).

Corrigé détaillé

Correction détaillée

Compréhension de l’énoncé

On dispose d’un segment \([AB]\) et d’un point \(C\) situé sur ce même segment. Il s’agit de construire l’image de \([AB]\) par la symétrie centrale de centre \(C\).

Principe de la symétrie centrale

Par définition, la symétrie centrale de centre \(C\) associe à chaque point \(X\) un point \(X'\) tel que \(C\) soit le milieu du segment \([XX']\). Autrement dit :

\[ CX = CX'\quad\text{et}\quad C, X, X'\text{ sont alignés} \]

Étapes de la construction

1. Construction de \(A'\)
   • Trace la droite passant par \(C\) et \(A\).
   • Place le point \(A'\) sur cette droite de façon que \[ CA = CA'. \]
   • Vérifie que \(C\) est le milieu de \([AA']\).
2. Construction de \(B'\)
   • De même, trace la droite passant par \(C\) et \(B\).
   • Place le point \(B'\) sur cette droite de façon que \[ CB = CB'. \]
   • Vérifie que \(C\) est le milieu de \([BB']\).
3. Construction de l’image du segment
   • Relie \(A'\) et \(B'\) par un segment. Ce segment est l’image de \([AB]\) par la symétrie centrale de centre \(C\).

Justification et propriétés

• Tout point \(M\) de \([AB]\) s’envoie sous la symétrie en un point \(M'\) tel que \(C\) soit milieu de \([MM']\). Ainsi l’ensemble des images des points de \([AB]\) forme le segment \([A'B']\).
• La symétrie centrale conserve les longueurs et l’alignement. Le segment image est donc de même longueur et colinéaire à \([AB]\), avec \(C\) pour milieu commun.

Conclusion : L’image recherchée est le segment \([A'B']\), où \(A'\) et \(B'\) sont construits comme symétriques respectifs de \(A\) et \(B\) par rapport à \(C\).