Exercice 4

Construire l’image d’un carré par une translation de 4 cm vers la droite.

Réponse

\(T_{(4,0)}(\square)\)

Corrigé détaillé

Introduction

En géométrie plane, une translation est un déplacement qui conserve la forme, la taille et l’orientation des figures. L’exercice demande de construire l’image d’un carré par une translation de 4 cm vers la droite.

1. Définition de la translation

Une translation est définie par un vecteur \(\vec v\). Si on note un point quelconque \(M\) de coordonnées \((x,y)\), son image \(M'\) par la translation de vecteur \(\vec v=(a,b)\) a pour coordonnées :

\[ M(x,y)\mapsto M'(x+a,y+b). \]

2. Choix du vecteur de translation

Ici, la translation se fait de 4 cm vers la droite, ce qui correspond au vecteur :

\[ \vec v=(4;0). \]

3. Application au carré

Soit le carré initial noté \(ABCD\). Pour chaque sommet :

• \(A(x_A,y_A)\) devient \(A'(x_A+4,y_A)\)
• \(B(x_B,y_B)\) devient \(B'(x_B+4,y_B)\)
• \(C(x_C,y_C)\) devient \(C'(x_C+4,y_C)\)
• \(D(x_D,y_D)\) devient \(D'(x_D+4,y_D)\)

Les distances et les angles restent inchangés, donc \(A'B'C'D'\) est encore un carré de même côté.

4. Construction pas à pas

1. Tracer le carré de base \(ABCD\) sur votre feuille.
2. À l’aide d’une règle graduée, pour each sommet \(X\) de \(ABCD\), mesurer 4 cm vers la droite (dans la direction de l’axe horizontal positif) et marquer le point \(X'\).
3. Répéter pour \(A,B,C\) et \(D\) afin d’obtenir \(A',B',C'\) et \(D'\).
4. Relier dans l’ordre \(A' \to B' \to C' \to D'\) puis de \(D'\) à \(A'\) pour obtenir le carré image.

Conclusion

On obtient le carré \(A'B'C'D'\), image de \(ABCD\) par la translation de vecteur \(\vec v=(4;0)\). Ce nouveau carré est superposé au précédent par un décalage de 4 cm vers la droite.