Construire l’image d’un triangle équilatéral par rotation de 120° autour de son centre.
Les images des sommets sont \(A'=B\), \(B'=C\), et \(C'=A\), donc l’image du triangle \(ABC\) est le triangle \(BCA\).
Une rotation de centre \(O\) et d’angle \(120°\) est une transformation qui : - conserve les distances (isométrie) - conserve l’orientation
On considère un triangle équilatéral \(ABC\) et on note \(O\) son centre. Dans un triangle équilatéral, le centre (intersection des médianes) est aussi le centre du cercle circonscrit. Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alors situés sur ce cercle.
Le cercle circonscrit mesure \(360°\) et les arcs \(AB\), \(BC\) et \(CA\) sont égaux car le triangle est équilatéral. Chaque arc vaut donc : \[ \frac{360°}{3}=120° \] On en déduit : \[ \angle AOB = \angle BOC = \angle COA = 120° \] et aussi : \[ OA = OB = OC \] (puisqu’il s’agit des rayons du cercle).
La rotation de \(120°\) autour de \(O\) envoie chaque point sur un point situé à la même distance de \(O\) et décalé de \(120°\) dans le sens direct : - \(A\) est envoyé sur \(B\), - \(B\) est envoyé sur \(C\), - \(C\) est envoyé sur \(A\).
L’image du triangle \(ABC\) par cette rotation de centre \(O\) et d’angle \(120°\) est le triangle \(A'B'C'\) défini par : \[ A' = B, \quad B' = C, \quad C' = A. \] Autrement dit, le triangle \(A'B'C'\) est le triangle \(BCA\).