Exercice 32

Tracer l’image d’un trapèze par la composée d’une translation suivie d’une symétrie centrale.

Réponse

Le trapèze image est le trapèze A’‘B’‘C’‘D’’ avec : \[ A''=2O-(A+\vec{u}),\quad B''=2O-(B+\vec{u}),\quad C''=2O-(C+\vec{u}),\quad D''=2O-(D+\vec{u}). \]

Corrigé détaillé

Présentation de l’exercice

On dispose d’un trapèze ABCD, d’un vecteur de translation \(\vec{u}\) et d’un point O comme centre de symétrie.
L’objectif est de tracer l’image de ABCD successivement par la translation de vecteur \(\vec{u}\) puis par la symétrie centrale de centre O.

1. Application de la translation

1.1. Définition

Une translation de vecteur \(\vec{u}\) déplace chaque point X en X′ tel que \(\overrightarrow{XX'}=\vec{u}\).

1.2. Construction

1. Sur la figure, reportez le vecteur \(\vec{u}\) à chacun des sommets A, B, C et D.
   
2. À partir de A, tracez un segment parallèle à \(\vec{u}\) de même longueur ; son extrémité est A′.
   
3. Répétez pour B, C, D afin d’obtenir B′, C′, D′.

Remarque pédagogique : - La translation conserve les longueurs et les parallélismes.
- Le quadrilatère A′B′C′D′ est donc un trapèze de même forme que ABCD.

2. Application de la symétrie centrale

2.1. Définition

Une symétrie centrale de centre O envoie chaque point X′ en X″ tel que O soit le milieu du segment [X′X″]. Autrement dit, \[ overrightarrow{OX''} = -\overrightarrow{OX'}. \]

2.2. Construction

1. Pour chaque point X′ (X′ = A′, B′, C′, D′), tracez la droite (OX′).
   
2. Sur cette droite, placez X″ de l’autre côté de O à la même distance que X′.
   
3. Les points obtenus sont A″, B″, C″, D″.

Conseil pédagogique :
- Vérifiez que O est bien le milieu de chaque segment [X′X″] à l’aide d’une règle et d’une équerre.
- Soulignez que la symétrie centrale ne modifie pas la taille du trapèze, elle le retourne simplement autour de O.

3. Conclusion

L’image du trapèze ABCD par la translation de vecteur \(\vec{u}\) puis par la symétrie centrale de centre O est le trapèze A″B″C″D″.
On peut exprimer analytiquement chaque sommet :
\[ A''=2O-(A+\vec{u}),\quad B''=2O-(B+\vec{u}),\quad C''=2O-(C+\vec{u}),\quad D''=2O-(D+\vec{u}). \] Cette construction respecte les propriétés des transformations isométriques : conservation des longueurs et des angles.