Exercice 3

Tracer l’image d’un triangle \(ABC\) par symétrie centrale de centre \(O\).

Réponse

Les images A′, B′, C′ du triangle ABC par la symétrie centrale de centre O sont telles que O est le milieu de [AA′], [BB′] et [CC′]. On a donc \[\overrightarrow{OA'}=-\overrightarrow{OA},\quad\overrightarrow{OB'}=-\overrightarrow{OB},\quad\overrightarrow{OC'}=-\overrightarrow{OC}.\] Le triangle A′B′C′ est l’image cherchée.

Corrigé détaillé

Définition de la symétrie centrale

La symétrie centrale de centre O est une transformation du plan qui à un point P associe un point P′ tel que O soit le milieu du segment [PP′].

Propriété clé

Pour tout point P du plan :

\[O\text{ est le milieu de }[PP']\quad\Longleftrightarrow\quad\overrightarrow{OP'}=-\overrightarrow{OP}.\]

Étape 1 : Construire l’image d’un point

1. Tracer la droite passant par O et par P.
2. Mesurer la distance de O à P.
3. Sur la même droite, de l’autre côté de O, reporter la même longueur pour placer P′.
4. Vérifier que O est bien le milieu de [PP′].

Étape 2 : Application aux sommets A, B et C

1. Pour A :
   • Tracer la droite (OA).
   • Reporter OA de l’autre côté de O pour obtenir A′.
   • On vérifie que O est le milieu de [AA′], donc \(\overrightarrow{OA'}=-\overrightarrow{OA}.\)
2. Répéter de même pour B : obtenir B′ tel que O soit le milieu de [BB′], donc \(\overrightarrow{OB'}=-\overrightarrow{OB}.\)
3. Répéter de même pour C : obtenir C′ tel que O soit le milieu de [CC′], donc \(\overrightarrow{OC'}=-\overrightarrow{OC}.\)

Étape 3 : Construction du triangle image A′B′C′

• Relier A′ à B′, B′ à C′ et C′ à A′.
• Le polygone A′B′C′ est l’image du triangle ABC par la symétrie centrale de centre O.

Conclusion

Le triangle A′B′C′ ainsi obtenu est la symétrie centrale de ABC de centre O. Les propriétés de la symétrie centrale garantissent que chaque segment [AA′], [BB′], [CC′] passe par O et que O en est le milieu.

Remarque pédagogique : en classe, on insistera sur la vérification graphique (tracé à la règle et au compas) et sur la compréhension du rôle de « milieu » dans cette transformation.