Exercice 19
Quelle transformation géométrique transforme un rectangle en lui-même
? Donner plusieurs exemples.
Réponse
[ ,; R_{180^},; ,; ]
Corrigé détaillé
Énoncé
On cherche toutes les transformations géométriques (isométries) qui
envoient un rectangle sur lui-même, c’est-à-dire qui superposent
exactement le rectangle à lui-même.
Définition et propriétés
Une transformation géométrique applicable ici est
une isométrie, c’est-à-dire une application qui
conserve les distances et les angles. Les isométries les plus courantes
dans le plan sont :
- l’identité (on ne bouge rien),
- les rotations autour d’un point,
- les réflexions (symétries) par rapport à une
droite.
Un rectangle possède un centre (le point
d’intersection de ses diagonales) et deux axes de symétrie : l’axe
vertical qui passe par les milieux des côtés horizontaux, et l’axe
horizontal qui passe par les milieux des côtés verticaux.
Groupe de symétrie du
rectangle
Les isométries qui envoient un rectangle sur lui-même forment un
petit ensemble noté le groupe diédral
- « D₂ » pour un quadrilatère à 4 symétries.
Concrètement, on distingue quatre transformations :
1) L’identité
- Notation : \(\mathrm{Id}\).
- Description : chaque point reste à sa place.
- Justification : triviale, c’est la transformation qui n’effectue
aucun déplacement.
2) La rotation de 180°
- Notation : \(R_{180^\circ}\).
- Centre : le centre du rectangle.
- Effet : chaque sommet est envoyé sur celui diamétralement
opposé.
- Pourquoi ça marche : un rectangle est invariant par un demi-tour
autour de son centre, les côtés et les angles se superposent.
3) La réflexion selon l’axe
vertical
- Notation : parfois \(\sigma_v\) ou
« symétrie verticale ».
- Axe : la droite verticale passant par le centre et les milieux des
côtés horizontaux.
- Effet : le côté gauche passe à la place du côté droit et
vice-versa.
- Vérification : les longueurs et les angles droits sont préservés,
l’image est exactement le rectangle de départ.
4) La réflexion selon l’axe
horizontal
- Notation : parfois \(\sigma_h\) ou
« symétrie horizontale ».
- Axe : la droite horizontale passant par le centre et les milieux des
côtés verticaux.
- Effet : le côté supérieur devient le côté inférieur, et
inversement.
Conclusion
Un rectangle (générique, c’est-à-dire non carré) possède exactement
quatre isométries qui le transforment en lui-même :
- l’identité \(\mathrm{Id}\),
- la rotation de 180° \(R_{180^\circ}\),
- la réflexion selon l’axe
vertical,
- la réflexion selon l’axe
horizontal.
Ces quatre transformations forment l’ensemble complet des symétries
du rectangle.