Exercice 12

Tracer l’image d’un triangle rectangle par une rotation de 90° autour d’un point \(O\).

Réponse

Le triangle \(A'B'C'\) est l’image du triangle \(ABC\) obtenu par la rotation de \(90^\circ\) autour de \(O\).

Corrigé détaillé

Corrigé détaillé

1. Définition et propriété d’une rotation

Une rotation de centre \(O\) et d’angle \(90^\circ\) est une transformation du plan qui vérifie pour tout point \(M\) :

• \(OM = OM'\), où \(M'\) est l’image de \(M\).
• L’angle orienté \(\widehat{MOM'} = 90^\circ\) (sens direct, c’est-à-dire sens trigonométrique).

Cette transformation conserve les longueurs et les angles.

2. Construction de l’image des sommets

On note \(A', B', C'\) les images respectives de \(A, B, C\) par la rotation de \(90^\circ\) autour de \(O\).

Construction de \(A'\)

1. Avec le compas, tracer un arc de cercle de centre \(O\) et de rayon \(OA\).
   
2. Sur cet arc, repérer le point \(A'\) tel que l’angle orienté \(\widehat{A O A'} = 90^\circ\) dans le sens direct.
   
3. Vérifier que \(OA' = OA\).

Construction de \(B'\)

1. Tracer un arc de cercle de centre \(O\) et de rayon \(OB\).
   
2. Sur cet arc, placer le point \(B'\) tel que \(\widehat{B O B'} = 90^\circ\) dans le même sens.
   
3. Vérifier que \(OB' = OB\).

Construction de \(C'\)

1. Tracer un arc de cercle de centre \(O\) et de rayon \(OC\).
   
2. Sur cet arc, placer le point \(C'\) tel que \(\widehat{C O C'} = 90^\circ\) dans le même sens.

3. Tracé du triangle image

Relier les points \(A'\), \(B'\) et \(C'\) pour obtenir le triangle \(A'B'C'\).

4. Vérification que \(A'B'C'\) est rectangle

• Comme la rotation conserve les angles, l’angle droit en \(B\) devient un angle droit en \(B'\).
  
• On a donc \(\widehat{A'B'C'} = 90^\circ\).

Conclusion : Le triangle \(A'B'C'\) est bien l’image du triangle rectangle \(ABC\) par la rotation de \(90^\circ\) autour de \(O\).