Exercice 7

Construire l’image d’un triangle \(ABC\) par symétrie centrale de centre \(A\).

Réponse

L’image du triangle ABC par la symétrie centrale de centre A est le triangle AB′C′ où les points B′ et C′ vérifient \(\overrightarrow{AB′}=-\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC′}=-\overrightarrow{AC}\).

Corrigé détaillé

Rappel : symétrie centrale de centre A

La symétrie centrale de centre A est une transformation qui à tout point X associe un point X′ tel que A soit le milieu du segment [XX′].

Propriétés essentielles

• A est le point d’intersection de XX′.
• Les vecteurs vérifient \[\overrightarrow{AX′}=-\overrightarrow{AX}.\]
• On a AX = AX′.

Objectif

Construire l’image du triangle ABC par cette symétrie de centre A. On cherche donc les points B′ et C′ tels que A soit le milieu de [BB′] et de [CC′], puis relier A, B′ et C′.

Étapes de construction détaillées

1. Construction de B′

1. Tracer la droite passant par A et B.
2. Placer l’extrémité du compas sur B, ouvrir-le jusqu’à A (longueur AB).
3. Sans modifier l’ouverture, placer la pointe du compas sur A et tracer un arc de cercle qui coupe la droite (AB) de l’autre côté de A.
4. L’intersection de l’arc avec la droite (AB) donne le point B′.

Remarque : comme A est le milieu de [BB′], on a bien AB = AB′ et A est aligné avec B et B′.

2. Construction de C′

1. De même, tracer la droite passant par A et C.
2. Reporter la longueur AC vers l’extérieur de A à l’aide du compas.
3. L’arc de cercle coupant la droite (AC) donne le point C′.

On vérifie ainsi que AC = AC′ et que A est le milieu de [CC′].

3. Construction de l’image du triangle

1. Relier les points A, B′ et C′ à la règle.
2. Le polygone obtenu est le triangle image par la symétrie centrale de centre A.

Vérification finale

• A coïncide avec son image (fixé par la symétrie).
• Pour chaque sommet X = B ou C, le point X′ est tel que A est le milieu de [XX′].

Conclusion : L’image du triangle ABC est le triangle AB′C′ construit ci-dessus.