Exercice 35
Comparer un prisme droit et une pyramide ayant la même base
(pentagone régulier). Quelles sont les différences en termes de nombre
de faces, d’arêtes et de sommets ? Si la base a \(n\) côtés, donner les formules générales
pour chaque solide.
Réponse
Prisme droit : Faces \(n+2\), Arêtes
\(3n\), Sommets \(2n\).
Pyramide : Faces \(n+1\), Arêtes \(2n\), Sommets \(n+1\).
Corrigé détaillé
Présentation du problème
Nous comparons deux solides ayant la même base, un polygone régulier
à \(n\) côtés :
1. Définition des solides
- Prisme droit : deux bases identiques reliées par
des faces latérales rectangulaires.
- Pyramide : une seule base et des faces latérales
triangulaires qui se rejoignent en un sommet unique.
2. Calcul du nombre de faces
- Prisme droit :
- Deux bases polygonales.
- Une face latérale par côté de la base.
- Nombre total de faces : \[
F_p = 2 + n
\]
- Pyramide :
- Une base.
- Une face latérale triangulaire par côté de la base.
- Nombre total de faces : \[
F_{py} = 1 + n
\]
3. Calcul du nombre d’arêtes
- Prisme droit :
- Arêtes des deux bases : \(2n\).
- Arêtes latérales (reliant les bases) : \(n\).
- Total : \[
E_p = 2n + n = 3n
\]
- Pyramide :
- Arêtes de la base : \(n\).
- Arêtes latérales (chaque sommet de la base au sommet) : \(n\).
- Total : \[
E_{py} = n + n = 2n
\]
4. Calcul du nombre de sommets
- Prisme droit :
- Sommets des deux bases : chacune a \(n\) sommets.
- Total : \[
S_p = 2n
\]
- Pyramide :
- Sommets de la base : \(n\).
- Un sommet supplémentaire (au sommet de la pyramide).
- Total : \[
S_{py} = n + 1
\]
5. Application au
pentagone (cas particulier \(n=5\))
- Prisme pentagonal :
- Faces : \(2 + 5 = 7\)
- Arêtes : \(3 \times 5 = 15\)
- Sommets : \(2 \times 5 = 10\)
- Pyramide pentagonale :
- Faces : \(1 + 5 = 6\)
- Arêtes : \(2 \times 5 = 10\)
- Sommets : \(5 + 1 = 6\)
Prisme droit à base à \(n\) côtés : \[
F_p = n + 2,
\quad E_p = 3n,
\quad S_p = 2n
\]
Pyramide à base à \(n\) côtés : \[
F_{py} = n + 1,
\quad E_{py} = 2n,
\quad S_{py} = n + 1
\]