Exercice 12

Compléter : Un prisme droit à base pentagonale possède ___ faces, ___ arêtes et ___ sommets.

Réponse

Un prisme droit à base pentagonale possède \(7\) faces, \(15\) arêtes et \(10\) sommets.

Corrigé détaillé

Rappel sur les prismes droits

Définition d’un prisme droit

Un prisme droit est un polyèdre dont les faces latérales sont des rectangles, et dont les deux bases sont des polygones identiques et parallèles. Dans notre cas, la base est un pentagone.

Étape 1 : Calcul du nombre de faces

1. Il y a deux bases (supérieure et inférieure), chacune étant un pentagone, soit 2 faces.
2. Le prisme possède autant de faces latérales qu’il y a de côtés à la base ; un pentagone a 5 côtés, donc 5 faces latérales, qui sont des rectangles.

On additionne 2 (bases) et 5 (faces latérales), ce qui donne : \(2 + 5 = 7\). Le prisme a donc 7 faces.

Vérification (formule d’Euler)

Pour tout polyèdre convexe, on a la relation :

\[ F + V = E + 2 \]

Étape 2 : Calcul du nombre d’arêtes

1. Chaque base comporte 5 arêtes, soit 2 × 5 = 10 arêtes pour les deux bases.
2. Il y a une arête verticale par sommet de la base, donc 5 arêtes latérales.

En additionnant ces valeurs, on obtient : \(10 + 5 = 15\). Le prisme a donc 15 arêtes.

Étape 3 : Calcul du nombre de sommets

1. Chaque pentagone de base a 5 sommets.
2. Les deux bases ensemble comptent 2 × 5 = 10 sommets.

On conclut que le prisme possède 10 sommets.

Conclusion

Le prisme droit à base pentagonale possède :

• \(F = 7\) faces
• \(E = 15\) arêtes
• \(V = 10\) sommets

On peut vérifier que ces résultats satisfont la formule d’Euler :

\[ 7 + 10 = 15 + 2 \]

Tout concorde ! 🎓