Exercice 29

Dessiner le patron d’un cône de rayon de base 3 cm et de génératrice 5 cm.

Réponse

Cercle de rayon 3 cm et secteur circulaire de rayon 5 cm et d’angle \(\tfrac{6\pi}{5}\) rad (soit 216°).

Corrigé détaillé

Présentation de l’exercice

On cherche à dessiner le patron d’un cône dont la base est un cercle de rayon 3 cm et dont la génératrice (la ligne oblique du sommet au bord de la base) mesure 5 cm. Un patron de cône se compose de :

1. Le cercle de la base

• Il s’agit simplement d’un cercle de rayon \(r=3\) cm.

2. Le secteur circulaire correspondant à la surface latérale

1. Rayon du secteur
   • Par définition, ce rayon est la génératrice du cône, soit \(5\) cm.
2. Longueur de l’arc du secteur
   • Cet arc est identique au périmètre du cercle de base.
   • Périmètre du cercle de base : \(2\pi\times3 = 6\pi\) cm.
   • L’arc du secteur mesure donc \(6\pi\) cm.
3. Calcul de l’angle central du secteur
   • Dans un cercle de rayon \(5\) cm, un arc de longueur \(6\pi\) cm correspond à un angle \(\theta\) mesuré en radians, tel que :\[ \theta = \frac{\text{longueur de l’arc}}{\text{rayon}} = \frac{6\pi}{5} \quad(\text{rad}) \]
   • Pour plus de clarté, on peut convertir cet angle en degrés : \[ \theta_{\!°} = \frac{6\pi}{5}\times\frac{180}{\pi} = 216° \]

3. Construction du patron

1. Tracer un cercle de rayon 3 cm.
2. Tracer un secteur de cercle de rayon 5 cm et d’angle \(216°\).
3. Vérifier que l’arc du secteur coïncide avec le pourtour du petit cercle lorsque l’on replie le patron pour former le cône.

Conclusion

Le patron du cône est constitué : - d’un cercle de rayon 3 cm (base) ; - d’un secteur circulaire de rayon 5 cm et d’angle \(6\pi/5\) rad (216°) (surface latérale).

Chaque point du bord du secteur vient se coller exactement au bord du cercle de base pour reconstituer la surface entière du cône.