Vérifier la formule d’Euler pour un dodécaèdre régulier qui possède 12 faces pentagonales.
On a \(F=12\), \(E=30\), \(V=20\) et donc \[V - E + F = 20 - 30 + 12 = 2.\]
L’exercice demande de vérifier la formule d’Euler pour un dodécaèdre régulier de 12 faces pentagonales.
On rappelle que pour un polyèdre convexe :
\[ V - E + F = 2, \]
où \(V\) est le nombre de sommets, \(E\) le nombre d’arêtes et \(F\) le nombre de faces.
Chaque face est un pentagone avec 5 arêtes. Un dodécaèdre régulier compte 12 pentagones, ce qui donne d’abord \(12\times5\) incidences d’arêtes. Comme chaque arête est partagée par deux faces, on divise par 2 :
\[ E \,=\, \frac{12 \times 5}{2} \;=\; 30. \]
Chaque face pentagonale comporte 5 sommets. Il y a donc \(12\times5\) incidences de sommets au total. Dans un dodécaèdre régulier, trois faces se rejoignent en chaque sommet, d’où :
\[ V \,=\, \frac{12 \times 5}{3} \;=\; 20. \]
On connaît maintenant \(F=12\), \(E=30\) et \(V=20\). Il suffit de calculer :
\[ V - E + F \,=\, 20 - 30 + 12 \;=\; 2. \]
La formule d’Euler est ainsi vérifiée pour le dodécaèdre régulier.