Exercice 21

Vérifier la formule d’Euler pour un tétraèdre : \(S + F = A + 2\) où \(S\) est le nombre de sommets, \(F\) le nombre de faces et \(A\) le nombre d’arêtes.

Réponse

\[4 + 4 = 6 + 2\]

Corrigé détaillé

Vérification de la formule d’Euler pour un tétraèdre

1. Rappel de la formule

La formule d’Euler pour un polyèdre convexe relie le nombre de sommets (S), le nombre de faces (F) et le nombre d’arêtes (A) par :

\[ S + F = A + 2 \]

2. Définition du tétraèdre

Un tétraèdre est un polyèdre dont toutes les faces sont des triangles. Il possède donc : - un certain nombre de sommets, - un certain nombre de faces triangulaires, - un certain nombre d’arêtes.

3. Comptage des sommets, des faces et des arêtes

• Sommets : il y en a 4, donc \(S = 4\).
• Faces : il y en a 4, donc \(F = 4\).
• Arêtes : chaque sommet se relie aux trois autres, ce qui donne \(4 \times 3 / 2 = 6\) arêtes, donc \(A = 6\).

4. Application de la formule

On remplace ces valeurs dans \(S + F = A + 2\) :

\[ 4 + 4 = 6 + 2 \]

Les deux membres de l’égalité valent 8, ce qui confirme que la formule d’Euler est bien vérifiée pour le tétraèdre.

5. Conclusion

Le tétraèdre satisfait la relation \(S + F = A + 2\) : le nombre de sommets plus le nombre de faces est égal au nombre d’arêtes plus deux.