Exercice 27

Dessiner la perspective cavalière d’un pavé droit de dimensions 6 cm × 4 cm × 3 cm.

Réponse

Face avant : rectangle de dimensions \(6\times4\) cm. Arêtes de profondeur tracées à \(45^\circ\) de longueur \(3\times\tfrac12=1{,}5\) cm. Face arrière : parallélogramme décalé selon ces arêtes obliques.

Corrigé détaillé

Rappels sur la perspective cavalière

La perspective cavalière est un procédé de dessin permettant de représenter un solide en conservant les longueurs réelles de ses arêtes parallèles au plan de projection et en projetant les arêtes de profondeur selon un axe oblique.

1) Choix de l’échelle et de l’orientation

• Les arêtes parallèles au plan de projection (horizontal et vertical) sont tracées en vraie grandeur.
• Les arêtes de profondeur sont tracées sur un axe oblique à \(45^\circ\) par rapport à l’horizontale. On choisit une échelle de réduction \[k=\tfrac12\] pour réduire la profondeur de moitié sur le dessin.
• Longueur de chaque arête de profondeur sur le dessin : \[3\ \text{cm}\times k=3\times\tfrac12=1{,}5\ \text{cm}.\]

2) Tracé de la face frontale

1. On place un point \(A\). À partir de \(A\), on trace horizontalement sur 6 cm la droite \(AB\).
2. À partir de \(B\), on monte verticalement sur 4 cm la droite \(BC\).
3. On trace ensuite horizontalement vers la gauche sur 6 cm la droite \(CD\), puis verticalement vers le bas sur 4 cm la droite \(DA\), ce qui ferme le rectangle \(ABCD\).

3) Report des arêtes de profondeur

1. Depuis chaque sommet \(A, B, C, D\) de la face avant, on trace une droite oblique à \(45^\circ\) vers le haut et la droite (axe de profondeur).
2. Sur chacune de ces droites, on reporte la longueur calculée de \(1{,}5\) cm pour obtenir les points \(E, F, G, H\) correspondants :
   • \(E\) à partir de \(A\),
     
   • \(F\) à partir de \(B\),
     
   • \(G\) à partir de \(C\),
     
   • \(H\) à partir de \(D\).

4) Fermeture du pavé

1. On relie \(E\) à \(F\), \(F\) à \(G\), \(G\) à \(H\), et \(H\) à \(E\). Ces segments dessinent la face arrière (un parallélogramme).
2. On relie ensuite chaque sommet de la face avant à son correspondant sur la face arrière : \(A\!–E\), \(B\!–F\), \(C\!–G\), \(D\!–H\).

5) Résultat final

On obtient ainsi la perspective cavalière du pavé droit de dimensions \(6\times4\times3\) cm : la face avant apparait en vraie grandeur, la profondeur est représentée par des arêtes obliques à \(45^\circ\) mesurant \(1{,}5\) cm sur le dessin.