Un icosaèdre régulier possède 20 faces triangulaires. En utilisant la formule d’Euler, déterminer le nombre de sommets et d’arêtes.
\(V = 12,\; E = 30\)
On considère un icosaèdre régulier, un polyèdre convexe dont toutes les faces sont des triangles. Il possède 20 faces.
Pour tout polyèdre convexe, le nombre de sommets V, d’arêtes E et de faces F vérifie la relation :
\[ V \;−\; E \; +\; F \;=\; 2. \]
Chaque face est un triangle, donc elle possède 3 arêtes. Si l’on compte toutes les arêtes de chaque face, on obtient :
\[ 3 \times F \]
Mais chaque arête est partagée par deux faces, on la compte donc deux fois. Pour obtenir le nombre réel d’arêtes, on divise par 2 :
\[ E = \frac{3 \times F}{2} = \frac{3 \times 20}{2} = 30. \]
On a donc trouvé que l’icosaèdre possède 30 arêtes.
On revient à la formule d’Euler en remplaçant :
On écrit :
\[ V - E + F = 2 \]
soit
\[ V - 30 + 20 = 2 \]
Cela donne :
\[ V - 10 = 2 \quad\Longrightarrow\quad V = 12. \]
L’icosaèdre possède donc 12 sommets.
En résumé, pour un icosaèdre régulier à 20 faces triangulaires :