Combien d’arêtes possède un octaèdre régulier ?
\(12\)
Un polyèdre est caractérisé par : - Le nombre de sommets, noté \(V\) - Le nombre d’arêtes, noté \(E\) - Le nombre de faces, noté \(F\)
Pour un octaèdre régulier : - Chaque face est un triangle équilatéral, donc \(F = 8\). - On sait qu’un octaèdre a \(V = 6\) sommets.
Pour tout polyèdre convexe, la formule d’Euler s’écrit :
\[ V - E + F = 2 \]
On remplace \(V\) et \(F\) par leurs valeurs :
\[ 6 - E + 8 = 2 \]
On simplifie l’expression :
\[ 14 - E = 2 \]
D’où :
\[ E = 14 - 2 = 12 \]
On peut aussi compter les demi-arêtes à partir des sommets : - Chaque sommet de l’octaèdre est relié à 4 autres sommets (degré 4). - Le total des degrés est donc :
\[ \sum\text{degrés} = 6 \times 4 = 24 \]
Or chaque arête contribue à deux degrés (un à chaque extrémité), donc :
\[ 2E = 24 \quad\Longrightarrow\quad E = 12 \]
L’octaèdre régulier possède 12 arêtes.